Câu hỏi:
2 năm trước
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( {2; - 1;1} \right)\) và hai đường thẳng \({d_1}:\dfrac{{x - 2}}{1} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 1}}{2}\), \({d_2}:\dfrac{{x - 2}}{2} = \dfrac{{y + 3}}{1} = \dfrac{{z - 1}}{{ - 1}}\). Đường thẳng \(\Delta \) cắt \({d_1}\), \({d_2}\) lần lượt tại \(A\) và \(B\) sao cho \(M\) là trung điểm của \(AB\) có phương trình:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Do \(A = \Delta \cap {d_1}\) suy ra \(A\in \Delta\) nên \(A\left( {2 + t;1 - 2t;1 + 2t} \right)\).
Vì \(M\) là trung điểm \(AB\), suy ra:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{x_M} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\
{y_M} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\\
{z_M} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_B} = 2{x_M} - {x_A}\\
{y_B} = 2{y_M} - {y_A}\\
{z_B} = 2{z_M} - {z_A}
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_B} = 2.2 - \left( {2 + t} \right) = 2 - t\\
{y_B} = 2.\left( { - 1} \right) - \left( {1 - 2t} \right) = - 3 + 2t\\
{z_B} = 2.1 - \left( {1 + 2t} \right) = 1 - 2t
\end{array} \right.\\
\Rightarrow B\left( { - t + 2;2t - 3; - 2t + 1} \right)
\end{array}$
Theo giả thiết, \(B \in {d_2}\) nên \(\dfrac{{ - t + 2 - 2}}{2} = \dfrac{{2t - 3 + 3}}{1} = \dfrac{{ - 2t + 1 - 1}}{{ - 1}} \)
\(\Leftrightarrow t = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A\left( {2;1;1} \right)\\B\left( {2; - 3;1} \right)\end{array} \right.\)
Đường thẳng \(\Delta \) đi qua hai điểm \(A\left( {2;1;1} \right)\), \(B\left( {2; - 3;1} \right)\) nên \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1 + t\\z = 1\end{array} \right.\)
Hướng dẫn giải:
- Gọi tọa độ các điểm \(A,B\) là giao điểm của \(\Delta \) với \({d_1},{d_2}\).
- Dựa vào các điều kiện bài cho tìm \(A,B\) và viết phương trình.
