Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi \(\left( {{H_1}} \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \frac{{{x^2}}}{4};\,\,y = - \frac{{{x^2}}}{4};\,\,x = - 4;\,\,x = 4\) và \(\left( {{H_2}} \right)\) là hình gồm tất cả các điểm \(\left( {x;y} \right)\) thỏa \({x^2} + {y^2} \le 16;\,\,{x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} \ge 4;\,\,{x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} \ge 4\)
Cho \(\left( {{H_1}} \right)\) và \(\left( {{H_2}} \right)\) quanh quanh trục Oy ta được các vật thể có thể tích là \({V_1},\,\,{V_2}\). Đẳng thức nào sau đây đúng ?
Trả lời bởi giáo viên
\({V_1}\) là hiệu thể tích khối trụ có bán kính đáy bằng $4$, chiều cao bằng $8$ với hai lần thể tích của vật thể tròn xoay tạo thành khi vật thể bị giới hạn bởi các đường \(x = 2\sqrt y ;\,\,x = 0;\,\,y = 0;\,\,x = 4\) quay quanh trục $Oy$.
\( \Rightarrow {V_1} = \pi {.4^2}.8 - 2\pi \int\limits_0^4 {4ydy} = 64\pi \)
\({V_2}\) là hiệu thể tích khối cầu có bán kính bằng $4$ với $2$ lần thể tích khối cầu có bán kính bằng $2$.
\( \Rightarrow {V_2} = \dfrac{4}{3}\pi \left( {{4^3} - {{2.2}^3}} \right) = 64\pi \)
Vậy \({V_1} = {V_2}\).
Hướng dẫn giải:
Sử dụng các công thức tính thể tính khối trụ, khối cầu và ứng dụng tích phân để tính thể tích của vật thể tròn xoay.