Ứng dụng tích phân trong hình học (thể tích vật thể)

Đường thẳng đi đi qua hai điểm \(\left( {1;0} \right);\,\,\left( {2;2} \right)\) nên có phương trình \(\frac{{x - 1}}{{2 - 1}} = \frac{{y - 0}}{{2 - 0}} \Leftrightarrow y = 2x - 2\)

Khi đó thể tích phần tròn xoay cần tính là:

\(\begin{array}{l}V = \pi \int\limits_0^1 {2xdx}  + \pi \int\limits_1^2 {\left| {2x - {{\left( {2x - 2} \right)}^2}} \right|dx} \\V = \pi \int\limits_0^1 {2xdx}  + \pi \int\limits_1^2 {\left| { - 4{x^2} + 10x - 4} \right|dx} \\V = \pi .\left. {{x^2}} \right|_0^1 + \left. {\pi \left( { - \frac{{4{x^3}}}{3} + 5{x^2} - 4x} \right)} \right|_1^2\\V = \pi \left( {1 + \frac{4}{3} + \frac{1}{3}} \right) = \frac{{8\pi }}{3}\end{array}\)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = {f_1}\left( x \right),y = {f_2}\left( x \right),x = a,x = b\) là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {{f_1}\left( x \right) - {f_2}\left( x \right)} \right|dx} \)

Ta thấy \({f_1}\left( x \right) > {f_2}\left( x \right)\,\,\forall x \in \left( {a;b} \right) \Rightarrow S = \int\limits_a^b {\left( {{f_1}\left( x \right) - {f_2}\left( x \right)} \right)dx} \)

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(Ox\) là \(\frac{\sqrt{3x+1}}{x+1}=0\Leftrightarrow 3x+1=0\Leftrightarrow x=-\frac{1}{3}.\)

Suy ra thể tích khối tròn xoay cần tính là \(V=\pi \int\limits_{-\frac{1}{3}}^{1}{{{f}^{2}}\left( x \right)\,\text{d}x}=\pi \int\limits_{-\frac{1}{3}}^{1}{\frac{3x+1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\,\text{d}x}\)

Xét tích phân \(I=\int\limits_{{ - \frac{1}{3}}}^{1}{\frac{3x+1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\,\text{d}x}=\int\limits_{-\frac{1}{3}}^{1}{\frac{3\left( x+1 \right)-2}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\,\text{d}x}=\int\limits_{-\frac{1}{3}}^{1}{\left[ \frac{3}{x+1}-\frac{2}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}} \right]\text{d}x}\)

\(=\left. \left( 3\ln \left| x+1 \right|+\frac{2}{x+1} \right) \right|_{-\frac{1}{3}}^{1}=3.\ln 2+1-3.\ln \frac{2}{3}-3=3.\ln 3-2.\)

Vậy \(V=\pi \left( 3\ln 3-2 \right).\)

Áp dụng công thức ta có thể tích khối tròn xoay bài cho là: \(V=\pi \int\limits_{0}^{1}{{{\left( x{{e}^{x}} \right)}^{2}}dx=}\pi \int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}{{e}^{2x}}dx.}\)

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay \(D\) quanh trục hoành được tính bởi công thức: \(V=\pi \int\limits_{2}^{3}{{{\left( {{\pi }^{x}} \right)}^{2}}\text{d}x=}\pi \int\limits_{2}^{3}{{{\pi }^{2x}}\text{d}x}\).

Thể tích khối tròn xoay cần tính là \(V=\pi \int\limits_{0}^{\pi }{{{\left( -\,\sin x \right)}^{2}}\,\text{d}x}=\pi \int\limits_{0}^{\pi }{{{\sin }^{2}}x\,\text{d}x}.\)

Ta có: \(V=\pi \int\limits_{0}^{1}{{{e}^{2x}}dx}=\pi \left. \frac{{{e}^{2x}}}{2} \right|_{0}^{1}=\frac{\pi \left( {{e}^{2}}-1 \right)}{2}\)

Đk: \(x\ge 0\).

Xét phương trình hoành độ giao điểm \(\sqrt{x}=0\Leftrightarrow x=0\). Khi đó \(V=\pi \int\limits_{0}^{9}{xdx}=\left. \pi \frac{{{x}^{2}}}{2} \right|_{0}^{9}=\frac{81\pi }{2}\)

ĐK : \(x\ge 0;\,\,y\ge 0\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm \({{x}^{2}}=-x+2\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}x=-2\,\,\left( ktm \right) \\x=1\,\,\,\,\,\,\,\left( tm \right) \\\end{align} \right.\)

\(\Rightarrow V=\pi \int\limits_{0}^{1}{\left| {{x}^{4}}-{{\left( -x+2 \right)}^{2}} \right|dx}=\pi \left| \int\limits_{0}^{1}{\left( {{x}^{4}}-{{x}^{2}}+4x-4 \right)}dx \right|=\frac{32}{15}\pi \)

Thể tích khối tròn xoay có được khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục hoành và 2 đường thẳng $x = a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x = b{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (a < b)$ quanh trục \(Ox\) là \(V=\pi \int\limits_{a}^{b}{{{\left( f(x) \right)}^{2}}dx}\)

Thể tích khối tròn xoay cần tính là \(V=\pi \int\limits_{1}^{3}{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{\,2}}\,\text{d}x}.\)

Công thức tính thể tích khối tròn xoay tạo thành là: \(V=\pi \int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}\left( x \right)dx}\)

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục \(Ox\) và hai đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a < b} \right)\) quanh trục \(Ox\) là:  \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \)

Ta có công thức tính thể tích hình phẳng đã cho là: \(V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {{2^x}} \right)}^2}dx}  = \pi \int\limits_0^2 {{4^x}dx} \)

Diện tích mặt cắt là: \(S\left( x \right) = x\sqrt {{x^2} + 3} \)

Thể tích của vật thể đó là: \(V = \int\limits_1^2 {S\left( x \right)} \,dx = \int\limits_1^2 {x\sqrt {{x^2} + 3} } \,dx\).

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 3} \)\( \Rightarrow {t^2} = {x^2} + 3 \Rightarrow tdt = xdx\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 2\\x = 2 \Rightarrow t = \sqrt 7 \end{array} \right.\).

\( \Rightarrow V = \int\limits_2^{\sqrt 7 } {t.tdt}  = \left. {\dfrac{{{t^3}}}{3}} \right|_2^{\sqrt 7 } = \dfrac{{7\sqrt 7  - 8}}{3}.\)

Quan sát hình vẽ, ta thấy thiết diện là hình vuông cạnh \(AB\).

Gọi \(H = AB \cap Ox \Rightarrow OH = x,OA = 1 \Rightarrow AH = \sqrt {1 - {x^2}} \) \( \Rightarrow AB = 2\sqrt {1 - {x^2}}  \Rightarrow S\left( x \right) = A{B^2} = 4\left( {1 - {x^2}} \right)\).

Vật thể đã cho giới hạn bởi hai mặt phẳng \(x =  - 1,x = 1\) và có diện tích thiết diện \(S\left( x \right) = 4\left( {1 - {x^2}} \right)\) nên có thể tích \(V = \int\limits_{ - 1}^1 {4\left( {1 - {x^2}} \right)dx}  = \left. {\left( {4x - \dfrac{4}{3}{x^3}} \right)} \right|_{ - 1}^1 = \dfrac{{16}}{3}\).

Ta dựng hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ

Ta có \({O_2}(0;0),{O_1}( - 6;0),C(8;0)\).

Ta có \({O_1}{O_2} = \sqrt {{O_1}{A^2} - {O_2}{A^2}}  = 6\).

Đường tròn \(\left( {{O_1};10} \right)\) có phương trình là: \({(x + 6)^2} + {y^2} = 100\)

Với ${(x + 6)^2}\le 100 \Leftrightarrow- 16 \le x \le 4$

\( \Rightarrow y = \sqrt {100 - {{(x + 6)}^2}} \)\(( - 16 \le x \le 4)\)

Đường tròn \(\left( {{{\rm{O}}_2};8} \right)\) có phương trình là

\({x^2} + {y^2} = 64\) với ${x^2}\le 64\Leftrightarrow - 8 \le x \le 8$

\( \Leftrightarrow y = \sqrt {64 - {x^2}} ( - 8 \le x \le 8)\)

Thể tích cần tìm là:

\(V = \pi \int_0^8 {\left( {64 - {x^2}} \right)} dx\)\( - \pi \int_0^4 {\left[ {100 - {{(x + 6)}^2}} \right]} dx\)\( = \dfrac{{608\pi }}{3}\).

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay \(\left( H \right)\) quanh trục \(Oy\) được tính theo công thức \(V = \pi \int\limits_1^4 {{{\left( {\sqrt y } \right)}^2}dy}  = \pi \int\limits_1^4 {ydy} \).

Ta có: \({V_1} = \pi \int\limits_0^1 {{f^2}\left( x \right)dx} \) và \({V_2} = \pi \int\limits_0^1 {{{\left[ {\dfrac{1}{3}f\left( x \right)} \right]}^2}dx}  = \dfrac{1}{9}\pi \int\limits_0^1 {{f^2}\left( x \right)dx} \)

\( \Rightarrow {V_1} = 9{V_2}.\)

Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình \(\left( D \right)\) quay xung quanh \(Ox\) bằng: \(V = \int\limits_0^\pi  {\left( {{{\sin }^2}x - {0^2}} \right)dx}  = \dfrac{{{\pi ^2}}}{2}\).