Cho hai đường tròn \(\left( {{O_1};10} \right)\) và \(\left( {{O_2};8} \right)\) cắt nhau tại hai điểm A, B sao cho AB là đường kính của đường tròn \(\left( {{O_2}} \right)\). Gọi \((H)\) là hình phẳng giới hạn bởi hai đường tròn (phần tô đậm). Quay hình \(({\rm{H}})\) quanh trục \({{\rm{O}}_1}{{\rm{O}}_2}\) ta được một khối tròn xoay. Tính thể tích \(V\) của khối tròn xoay đó.
Trả lời bởi giáo viên
Ta dựng hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ
Ta có \({O_2}(0;0),{O_1}( - 6;0),C(8;0)\).
Ta có \({O_1}{O_2} = \sqrt {{O_1}{A^2} - {O_2}{A^2}} = 6\).
Đường tròn \(\left( {{O_1};10} \right)\) có phương trình là: \({(x + 6)^2} + {y^2} = 100\)
Với ${(x + 6)^2}\le 100 \Leftrightarrow- 16 \le x \le 4$
\( \Rightarrow y = \sqrt {100 - {{(x + 6)}^2}} \)\(( - 16 \le x \le 4)\)
Đường tròn \(\left( {{{\rm{O}}_2};8} \right)\) có phương trình là
\({x^2} + {y^2} = 64\) với ${x^2}\le 64\Leftrightarrow - 8 \le x \le 8$
\( \Leftrightarrow y = \sqrt {64 - {x^2}} ( - 8 \le x \le 8)\)
Thể tích cần tìm là:
\(V = \pi \int_0^8 {\left( {64 - {x^2}} \right)} dx\)\( - \pi \int_0^4 {\left[ {100 - {{(x + 6)}^2}} \right]} dx\)\( = \dfrac{{608\pi }}{3}\).
Hướng dẫn giải:
- Dựng hệ trục tọa độ Oxy
- Lập phương trình đường tròn \(\left( {{{\rm{O}}_2};8} \right)\) và \(\left( {{O_1};10} \right)\)
- Tính thể tích V.