Bất phương trình mũ

Ta có: \({2^{{x^2} - 1}} < 8 \Leftrightarrow {2^{{x^2} - 1}} < {2^3} \Leftrightarrow {x^2} - 1 < 3\) \( \Leftrightarrow {x^2} < 4 \Leftrightarrow  - 2 < x < 2\)

\(f\left( x \right) = {3^x}{.5^{{x^2}}} \ge 1\)

Lấy loganepe hai vế ta được \(\ln \left( {{3^x}{{.5}^{{x^2}}}} \right) \ge \ln 1 \Leftrightarrow x\ln 3 + {x^2}\ln 5 \ge 0 \Rightarrow \) Đáp án A đúng.

Lấy log hai vế ta được \(\log \left( {{3^x}{{.5}^{{x^2}}}} \right) \ge \log 1 \Leftrightarrow x\log 3 + {x^2}\log 5 \ge 0 \Rightarrow \) Đáp án B đúng.

Lấy log cơ số 5 hai vế ta được \({\log _5}\left( {{3^x}{{.5}^{{x^2}}}} \right) \ge {\log _5}1 \Leftrightarrow x{\log _5}3 + {x^2}{\log _5}5 \ge 0 \Leftrightarrow x{\log _5}3 + {x^2} \ge 0 \Rightarrow \) Đáp án C đúng.

\(x{\log _5}3 + {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow x\left( {x + {{\log }_5}3} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + {\log _5}3 \ge 0\\x \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow \) Đáp án D sai.

\({2^{{x^2} - 2x}} \le 8 \Leftrightarrow {2^{{x^2} - 2x}} \le {2^3}\)

Vì \(2 > 1 \Rightarrow {x^2} - 2x \le 3 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 \le 0 \Leftrightarrow x \in \left[ { - 1;3} \right]\)

\({3^x} + {5^x} > {8^x} \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{3}{8}} \right)^x} + {\left( {\dfrac{5}{8}} \right)^x} > 1\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {\dfrac{3}{8}} \right)^x} + {\left( {\dfrac{5}{8}} \right)^x}\)

Ta có: $f'(x)= {\left( {\dfrac{3}{8}} \right)^x} . \ln {\left( {\dfrac{3}{8}} \right)}+ {\left( {\dfrac{5}{8}} \right)^x}. \ln {\left( {\dfrac{5}{8}} \right)}$

Vì  $\ln {\left( {\dfrac{3}{8}} \right)}<0$ và  $\ln {\left( {\dfrac{5}{8}} \right)}<0$ nên $f'(x)<0$ $\forall x \in \mathbb{R}$

$=>$ $f(x)$ là nghịch biến trên R

Ta có \(f\left( 1 \right) = \dfrac{3}{8} + \dfrac{5}{8} = 1 \Rightarrow f\left( x \right) > f\left( 1 \right)\,\,\forall x \in R\), mà \(y = f\left( x \right)\) là hàm nghịch biến nên \(x < 1\)

Đặt \(t = {3^x}\,\left( {t > 0} \right)\), khi đó bất phương trình trở thành \(3{t^2} - 10t + 3 \le 0 \Leftrightarrow t \in \left[ {\dfrac{1}{3};3} \right]\)

\(\begin{array}{l}t \ge \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow {3^x} \ge \dfrac{1}{3} = {3^{ - 1}} \Leftrightarrow x \ge  - 1\\t \le 3 \Leftrightarrow {3^x} \le 3 = {3^1} \Leftrightarrow x \le 1\\ \Rightarrow x \in \left[ { - 1;1} \right] \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b = 1\end{array} \right. \Rightarrow b - a = 1 - \left( { - 1} \right) = 2\end{array}\)

Ta có: \({9^x} - {8.3^x} - 9 > 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {{3^x}} \right)^2} - {8.3^x} - 9 > 0\) \( \Leftrightarrow \left( {{3^x} + 1} \right)\left( {{3^x} - 9} \right) > 0\)

\( \Leftrightarrow {3^x} - 9 > 0 \Leftrightarrow {3^x} > 9 \Leftrightarrow x > 2\)

Vậy bất phương trình có tập nghiệm \(S = \left( {2; + \infty } \right)\)

\({2^x} < {3^{\dfrac{x}{2}}} + 1 \Leftrightarrow {4^{\dfrac{x}{2}}} < {3^{\dfrac{x}{2}}} + 1 \Leftrightarrow 1 < {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{\dfrac{x}{2}}} + {\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^{\dfrac{x}{2}}} = f\left( x \right)\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{\dfrac{x}{2}}} + {\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^{\dfrac{x}{2}}}\) nghịch biến trên R.

Mà \(f\left( 2 \right) = \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4} = 1 \Leftrightarrow f\left( 2 \right) < f\left( x \right)\,\,\forall x \in R\), mà hàm số \(y = f\left( x \right)\)  là hàm nghịch biến nên \(x < 2\)

Vậy các nghiệm nguyên dương của bất phương trình là x = 1. Có 1 nghiệm nguyên dương duy nhất.

ĐK: ${x^2} - 3x - 10 \ge 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {5; + \infty } \right)$

\({\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{\sqrt {{x^2} - 3x - 10} }} > {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{x - 2}}\)

Vì \(0 < \dfrac{1}{3} < 1 \Rightarrow \sqrt {{x^2} - 3x - 10}  < x - 2\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\{x^2} - 3x - 10 < {\left( {x - 2} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\{x^2} - 3x - 10 < {x^2} - 4x + 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\x < 14\end{array} \right.\)

Kết hợp nghiệm ta có: \(x \in \left[ {5;14} \right)\)

Vậy bất phương trình có 9  nghiệm nguyên.

\({2^{x + 2}} < {\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^x} \Leftrightarrow {2^{x + 2}} < {\left( {{2^{ - 2}}} \right)^x} \Leftrightarrow {2^{x + 2}} < {2^{ - 2x}}\)

Vì \(2 > 1 \Rightarrow x + 2 <  - 2x \Leftrightarrow 3x <  - 2 \Leftrightarrow x <  - \dfrac{2}{3}\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { - \infty ; - \dfrac{2}{3}} \right)\)

Điều kiện: $x \ne 0$

Ta có: ${\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{\frac{1}{x}}} \ge {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^4} \Leftrightarrow \dfrac{1}{x} \le 4 $

$ \Leftrightarrow \dfrac{1}{x} - 4 \le 0 \Leftrightarrow \dfrac{{1 - 4x}}{x} \le 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x \ge \dfrac{1}{4}\\
x < 0
\end{array} \right.$

Vậy bất phương trình có nghiệm là $x \ge \dfrac{1}{4}$ hoặc \(x<0\)

TXĐ : \(x \ne 3,x \ne 1.\)

Ta có \(\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right) = 1 \Rightarrow 2 - \sqrt 3  = \dfrac{1}{{2 + \sqrt 3 }} = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{ - 1}}\)

\( \Rightarrow {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{\dfrac{{x - 3}}{{x - 1}}}} < {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{ - \dfrac{{x - 1}}{{x - 3}}}}\)

Ta có : \(2 + \sqrt 3  > 1 \Rightarrow \dfrac{{x - 3}}{{x - 1}} <  - \dfrac{{x - 1}}{{x - 3}} \Leftrightarrow \dfrac{{x - 3}}{{x - 1}} + \dfrac{{x - 1}}{{x - 3}} < 0 \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}} < 0\)

Ta có  \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0\,\,\forall x \in R\backslash \left\{ {1;3} \right\} \Rightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) < 0 \Leftrightarrow x \in \left( {1;3} \right)\)

Dựa vào các đáp án ta thấy chỉ có đáp án B là tập con của tập \(\left( {1;3} \right)\)

\({\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{4x}} \le {\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^{2 - x}} \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{4x}} \le {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{x - 2}}\)

Vì \(0 < \dfrac{2}{3} < 1 \Rightarrow 4x \ge x - 2 \Leftrightarrow 3x \ge  - 2 \Leftrightarrow x \ge  - \dfrac{2}{3}\)

Ta có \({5^x} < 7 - 2x \Leftrightarrow {5^x} +2x-7<0\)  

Ta có \({5^x} > 0\) với $\forall x$ nên $\left( {7 - 2x} \right) > 0 \Leftrightarrow x < \dfrac{7}{2}$

Xét hàm \(f\left( x \right) = {5^x} + 2x - 7\) trên \(\left( { - \infty ;\dfrac{7}{2}} \right)\)

Có \(f'\left( x \right) = {5^x}\ln 5 + 2 > 0,\forall x \in \left( { - \infty ;\dfrac{7}{2}} \right)\)

Do đó hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;\dfrac{7}{2}} \right)\), hay \(f\left( x \right) < f\left( 1 \right) = 0,\forall x < 1\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { - \infty ;1} \right)\).

${3^{3x - 2}} + \dfrac{1}{{{{27}^x}}} \le \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow \dfrac{{{3^{3x}}}}{9} + \dfrac{1}{{{3^{3x}}}} \le \dfrac{2}{3}$

 Đặt $t = {3^{3x}}\left( {t > 0} \right)$

Bpt $ \Leftrightarrow \dfrac{t}{9} + \dfrac{1}{t} \le \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow {t^2} - 6t + 9 \le 0 \Leftrightarrow {\left( {t - 3} \right)^2} \le 0 \Leftrightarrow t = 3$

Khi đó ${3^{3x}} = 3 \Leftrightarrow 3x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{3}$

\({e^x} + {e^{ - x}} < \dfrac{5}{2} \Leftrightarrow {e^{2x}} + 1 < \dfrac{5}{2}{e^x} \Leftrightarrow 2{e^{2x}} - 5{e^x} + 2 < 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {{e^x} - 2} \right)\left( {2{e^x} - 1} \right) < 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} < {e^x} < 2 \Leftrightarrow  - \ln 2 < x < \ln 2\)

Xét hàm : $f(x) = {7^x} + 3x - 10 \Rightarrow f'(x) = {7^x}\ln 7 + 3 > 0,\forall x \in R$ nên hàm số đồng biến trên \(R\).

Mà \(f\left( x \right) \ge 0=f\left( 1 \right)\Rightarrow x \ge 1\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left[ {1; + \infty } \right)\)

\({\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^x} \ge 2 \Leftrightarrow {2^{ - x}} \ge 2 \Leftrightarrow  - x \ge 1 \leftrightarrow x \le  - 1 \Rightarrow S = \left( { - \infty ; - 1} \right]\).

Ta có

\({2^{x - 1}} > {\left( {\dfrac{1}{{16}}} \right)^{\frac{1}{x}}} \Leftrightarrow {2^{x - 1}} > {\left( {{2^{ - 4}}} \right)^{\frac{1}{x}}} \Leftrightarrow {2^{x - 1}} > {2^{ - \frac{4}{x}}} \)

$\Leftrightarrow x - 1 >  - \dfrac{4}{x} \Leftrightarrow x + \dfrac{4}{x} - 1 > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} - x + 4}}{x} > 0$

Vì ${x^2} - x + 4 > 0$ nên suy ra $x > 0$ 

\({\left( {\sqrt 2 } \right)^{{x^2} - 2x}} \le {\left( {\sqrt 2 } \right)^3} \Leftrightarrow {x^2} - 2x \le 3 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 \le 0 \Leftrightarrow x \in \left[ { - 1;3} \right]\)

\(\begin{array}{l}t = \left( {2 - \sqrt 3 } \right)(1 > t > 0) \Rightarrow \left( {2 + \sqrt 3 } \right) = \dfrac{1}{t}\\ \Rightarrow {t^x} > {\left( {\dfrac{1}{t}} \right)^{x + 2}} \Rightarrow {t^x} > t{}^{ - x - 2} \Rightarrow x <  - x - 2 \Rightarrow x <  - 1\end{array}\)