Câu hỏi:
2 năm trước
Tập nghiệm của bất phương trình \({\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{\dfrac{{x - 3}}{{x - 1}}}} < {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^{\dfrac{{x - 1}}{{x - 3}}}}\) là :
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
TXĐ : \(x \ne 3,x \ne 1.\)
Ta có \(\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right) = 1 \Rightarrow 2 - \sqrt 3 = \dfrac{1}{{2 + \sqrt 3 }} = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{ - 1}}\)
\( \Rightarrow {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{\dfrac{{x - 3}}{{x - 1}}}} < {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{ - \dfrac{{x - 1}}{{x - 3}}}}\)
Ta có : \(2 + \sqrt 3 > 1 \Rightarrow \dfrac{{x - 3}}{{x - 1}} < - \dfrac{{x - 1}}{{x - 3}} \Leftrightarrow \dfrac{{x - 3}}{{x - 1}} + \dfrac{{x - 1}}{{x - 3}} < 0 \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}} < 0\)
Ta có \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0\,\,\forall x \in R\backslash \left\{ {1;3} \right\} \Rightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) < 0 \Leftrightarrow x \in \left( {1;3} \right)\)
Dựa vào các đáp án ta thấy chỉ có đáp án B là tập con của tập \(\left( {1;3} \right)\)
Hướng dẫn giải:
Nhận thấy \(\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right) = 1\), đưa bất phương trinh về cùng cơ số \(2 + \sqrt 3 \).
\({a^x} < {a^y} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}0 < a < 1\\x > y\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a > 1\\x < y\end{array} \right.\end{array} \right.\)
