Hệ tọa độ trong không gian

Tọa độ trọng tâm tứ diện $ABCD$ là $G\left( {\dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C} + {x_D}}}{4};\dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C} + {y_D}}}{4};\dfrac{{{z_A} + {z_B} + {z_C} + {z_D}}}{4}} \right)$

Điểm $G$ là trọng tâm tứ diện $ABCD$ nếu tọa độ điểm $G$ thỏa mãn:

$\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C} + {x_D}}}{4} = \dfrac{{1 + 0 - 1 + 0}}{4} = 0\\{y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C} + {y_D}}}{4} = \dfrac{{0 + 1 + 2 + 0}}{4} = \dfrac{3}{4}\\{z_G} = \dfrac{{{z_A} + {z_B} + {z_C} + {z_D}}}{4} = \dfrac{{0 + 1 + 0 + 3}}{4} = 1\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {0;\dfrac{3}{4};1} \right)$

Bước 1: 

Gọi $I(a;b;c)$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$

Khi đó $B C \cdot \overrightarrow{I A}+C A \cdot \overrightarrow{I B}+A B \cdot \overrightarrow{I C}=\overrightarrow{0}$

Bước 2: Thay tọa độ I vào công thức, tìm a, b, c.

Áp dụng, với $I(a ; b ; c)A B=3 ; B C=5 ; A C=4$, ta có:

$5 \overrightarrow{I A}+4 \overrightarrow{I B}+3 \overrightarrow{I C}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow 12 \overrightarrow{I A}=4 \overrightarrow{B A}+3 \overrightarrow{C A}$

$\Leftrightarrow 12 \overrightarrow{I A}=(-12 ; 0 ;-12) \Leftrightarrow \overrightarrow{I A}=(-1 ; 0 ;-1)$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}1-a=-1 \\ 1-b=0 \\ 1-c=-1\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=2 \\ b=1 \\ c=2\end{array} \Leftrightarrow I(2 ; 1 ; 2)\right.\right.$

Ta có: $M\left( {1;\,\,2;\,\,3} \right)$ $\Rightarrow$ Điểm đối xứng của $M$ qua trục $Oz$ là: $M'\left( { - 1; - 2;3} \right)$.