Gọi $a$ là số thực lớn nhất để bất phương trình ${x^2} - x + 2 + a\ln \left( {{x^2} - x + 1} \right) \ge 0$ nghiệm đúng với mọi $x \in R.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?
Đặt $t = {x^2} - x + 1 = {\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} \ge \dfrac{3}{4}$
Khi đó BPT trở thành $f\left( t \right) = t + 1 + a\ln t \ge 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {t \in \left[ {\dfrac{3}{4}; + \infty {\rm{\;}}} \right)} \right)$
Ta có: $f'\left( t \right) = 1 + \dfrac{a}{t} = 0 \Leftrightarrow t = - a.$
Mặt khác $\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } {\mkern 1mu} f\left( t \right) = + \infty ;f\left( {\dfrac{3}{4}} \right) = \dfrac{7}{4} + a\ln \dfrac{3}{4}$
Với $a > 0 \Rightarrow f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left[ {\dfrac{3}{4}; + \infty {\rm{\;}}} \right) \Rightarrow f\left( t \right) \ge 0\;\left( {\forall t \in \left[ {\dfrac{3}{4}; + \infty {\rm{\;}}} \right)} \right) \Leftrightarrow \mathop {Min}\limits_{\left[ {\dfrac{3}{4}; + \infty {\rm{\;}}} \right)} {\mkern 1mu} f\left( t \right) = \dfrac{7}{4} + a\ln \dfrac{3}{4} \ge 0$
$ \Leftrightarrow a\ln \dfrac{3}{4} \ge \dfrac{{ - 7}}{4} \Leftrightarrow a \le \dfrac{{\dfrac{{ - 7}}{4}}}{{\ln \dfrac{3}{4}}} \approx 6,08$. Vì đề bài yêu cầu tìm số thực lớn nhất nên suy ra $a \in \left( {6;7} \right].$
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình ${\log _{x + 1}}\left( { - 2x} \right) > 2$
${\log _{x + 1}}\left( { - 2x} \right) > 2$
Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2x > 0}\\{0 < x + 1 \ne 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x < 0}\\{ - 1 < x \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow - 1 < x < 0$
Từ điều kiện ta có cơ số $x + 1 < 1$ nên bất phương trình tương đương với
$ - 2x < {\left( {x + 1} \right)^2} \Leftrightarrow - 2x < {x^2} + 2x + 1$ $ \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 1 > 0$ $ \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - 2 - \sqrt 3 } \right) \cup \left( { - 2 + \sqrt 3 ; + \infty {\rm{\;}}} \right)$
Kết hợp với điều kiện ta được: $x \in \left( { - 2 + \sqrt 3 ;0} \right)$
Tập nghiệm của bất phương trình ${\log _2}\left( {{x^2} - 3x + 1} \right) \le 0$ là:
\({\log _2}\left( {{x^2} - 3x + 1} \right) \le 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 3x + 1 > 0}\\{{x^2} - 3x + 1 \le {2^0}}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 3x + 1 > 0}\\{{x^2} - 3x \le 0}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x > \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}}\\{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x < \dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2}}\end{array}} \right.}\\{0 \le x \le 3}\end{array}} \right.{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 \le x < \dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2}}\\{\dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2} < x \le 3}\end{array}} \right.\)
Tìm tập nghiệm $S$ của bất phương trình ${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{{\log }_4}\dfrac{{2x + 1}}{{x - 1}}} \right) > 1$
Ta có ${\log _{\dfrac{1}{2}}}\left( {{{\log }_4}\dfrac{{2x + 1}}{{x - 1}}} \right) > 1 \Leftrightarrow 0 < {\log _4}\dfrac{{2x + 1}}{{x - 1}} < \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow 1 < \dfrac{{2x + 1}}{{x - 1}} < 2 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}} > 0}\\{\dfrac{3}{{x - 1}} < 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x < - 2$
Tập nghiệm của bất phương trình ${\log _2}x \le {\log _x}2$ là:
${\log _2}x \le {\log _x}2$. Điều kiện $0 < x \ne 1$
${\log _2}x \le {\log _x}2 \Leftrightarrow {\log _2}x - \dfrac{1}{{{{\log }_2}x}} \le 0$
Đặt $t = {\log _2}x$. Bất phương trình trở thành $t - \dfrac{1}{t} \le 0 \Leftrightarrow \dfrac{{{t^2} - 1}}{t} \le 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t \le {\rm{\;}} - 1}\\{0 < t \le 1}\end{array}} \right.$
Khi đó ta có: $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\log }_2}x \le {\rm{\;}} - 1}\\{0 < {{\log }_2}x \le 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \le \dfrac{1}{2}}\\{1 < x \le 2}\end{array}} \right.$
Kết hợp điều kiện ta được tập nghiệm của bất phương trình là: $\left( {0;\dfrac{1}{2}} \right] \cup \left( {1;2} \right]$
Tập nghiệm của bất phương trình ${\log _{\dfrac{1}{3}}}(x - 1) + {\log _3}(11 - 2x) \ge 0$ là
Điều kiện xác định: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 1 > 0}\\{11 - 2x > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow 1 < x < \dfrac{{11}}{2}$
$\begin{array}{*{20}{l}}{{{\log }_{\dfrac{1}{3}}}(x - 1) + {{\log }_3}(11 - 2x) \ge 0 \Leftrightarrow {\rm{\;}} - {{\log }_3}(x - 1) + {{\log }_3}(11 - 2x) \ge 0 \Leftrightarrow {{\log }_3}(11 - 2x) \ge {{\log }_3}(x - 1)}\\{ \Leftrightarrow 11 - 2x \ge x - 1 \Leftrightarrow x \le 4}\end{array}$
Vậy, bất phương trình có tập nghiệm $S = \left( {1;4} \right]$.
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình $2{\log _3}\left( {4x - 7} \right) \le {\log _3}\left( {18x + 9} \right).$
ĐK:$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4x - 7 > 0}\\{18x + 9 > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > \dfrac{7}{4}}\\{x > \dfrac{{ - 1}}{2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x > \dfrac{7}{4}.$
$\begin{array}{*{20}{l}}{BPT \Leftrightarrow {{\log }_3}{{\left( {4x - 7} \right)}^2} \le {{\log }_3}\left( {18x + 9} \right)}\\{ \Leftrightarrow 16{x^2} - 56x + 49 \le 18x + 9}\\{ \Leftrightarrow 16{x^2} - 74x + 40 \le 0}\\{ \Leftrightarrow \dfrac{5}{8} \le x \le 4.}\end{array}$
Kết hợp với điều kiện ta được bất phương trình có nghiệm: $\dfrac{7}{4} < x \le 4.$
Trong phim Cube của đạo diễn Vincenzo Natali thực hiện năm 1997, có một căn phòng âm thanh.Trong căn phòng đó, cứ có bất kỳ âm thanh nào phát ra với mức cường độ âm thanh trên \(50dB\) thì có một bộ phận trong căn phòng sẽ phát ra khí độc giết chết toàn bộ sự sống trong đó. Biết rằng mức cường độ âm thanh được tính theo công thức \(L = 10\log \dfrac{I}{{{I_0}}}\) (đơn vị: \(dB\)), trong đó \({I_0} = {10^{ - 12}}W/{m^2}\) là cường độ âm chuẩn, \(I\) là cường độ âm. Tính giá trị lớn nhất \({I_{\max }}\) của cường độ âm \(I\) để căn phòng an toàn.
Từ đề bài ta suy ra \(L \le 50 \Leftrightarrow 10\log \dfrac{I}{{{I_o}}} = 50 \Leftrightarrow \log \dfrac{I}{{{I_o}}} = 5 \Leftrightarrow \dfrac{I}{{{I_0}}} = {10^5}\) \( \Leftrightarrow I = {10^5}{.10^{ - 12}} = {10^{ - 7}}\,\,W/{m^2}.\)
Hay \({{\mathop{\rm I}\nolimits} _{\max }} = {10^{ - 7}}\,W/{m^2}\)
Xét các số thực không âm \(a,\,\,b\) thỏa mãn \(3a + 2b \le {\log _2}\left( {3a + 2b} \right) + 1\). Giá trị nhỏ nhất của \({a^2} + {b^2}\) bằng bao nhiêu?
Điền số nguyên hoặc phân số dạng a/b
Đáp án:
Đáp án:
Ta xét \(3a + 2b \le {\log _2}\left( {3a + 2b} \right) + 1\) (1)
Đặt \(t = 3a + 2b\,\,\left( {t \ge 0} \right)\).
Phương trình (1) tương đương với: \(t \le {\log _2}\left( t \right) + 1\)
\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( t \right) - t + 1 \ge 0\).
Đặt \(f\left( t \right) = {\log _2}\left( t \right) - t + 1 \ge 0\).
Ta có \(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t.\ln 2}} - 1 > 0\)
\( \Leftrightarrow t < \dfrac{1}{{\ln 2}}\).
\( \Rightarrow \) Hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\dfrac{1}{{\ln 2}}} \right)\).
Giả sử \(t < 1\), ta có \(f\left( t \right) < f\left( 1 \right) = 0\) (mâu thuẫn với \(f\left( t \right) \ge 0\)).
Do đó \(t \ge 1\)
\( \Leftrightarrow 3a + 2b \ge 1\).
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta có:
\({\left( {3a + 2b} \right)^2} \le \left( {{3^2} + {2^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right) = 13\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\).
\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge \dfrac{{{{\left( {3a + 2b} \right)}^2}}}{{13}} \ge \dfrac{{{1^2}}}{{13}} = \dfrac{1}{{13}}\).
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a + 2b = 1\\\dfrac{a}{3} = \dfrac{b}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{3}{{13}}\\b = \dfrac{2}{{13}}\end{array} \right.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \({a^2} + {b^2}\) bằng \(\dfrac{1}{{13}}\).
Bất phương trình \({\log _4}\left( {{x^2} - 3x} \right) > {\log _2}\left( {9 - x} \right)\) có bao nhiêu nghiệm nguyên?
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3x > 0\\9 - x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\left( {x - 3} \right) > 0\\x < 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x > 3\\x < 0\end{array} \right.\\x < 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < 0\\3 < x < 9\end{array} \right..\)
\(\begin{array}{l}{\log _4}\left( {{x^2} - 3x} \right) > {\log _2}\left( {9 - x} \right) \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{\log _2}\left( {{x^2} - 3x} \right) > {\log _2}\left( {9 - x} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{x^2} - 3x} \right) > 2{\log _2}\left( {9 - x} \right) \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{x^2} - 3x} \right) > {\log _2}{\left( {9 - x} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} - 3x > 81 - 18x + {x^2}\\ \Leftrightarrow 15x > 81 \Leftrightarrow x > \dfrac{{81}}{{15}} \Leftrightarrow x > \dfrac{{27}}{5}\end{array}\)
Kết hợp với điều kiện xác định ta có bất phương trình có tập nghiệm là: \(\dfrac{{27}}{5} < x < 9.\)
Mà \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ {6;\,\,7;\,\,8} \right\}.\)
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Có bao nhiêu số nguyên \(x\) thỏa mãn \(\left( {{3^{{x^2}}} - {9^x}} \right)\left[ {{{\log }_3}\left( {x + 25} \right) - 3} \right] \le 0\)?
BPT: \(\left( {{3^{{x^2}}} - {9^x}} \right)\left[ {{{\log }_3}\left( {x + 25} \right) - 3} \right] \le 0\).
Bài này ta chia 2 trường hợp để giải.
TH1:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{3^{{x^2}}} - {9^x} \ge 0\\{\log _3}\left( {x + 25} \right) - 3 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{3^{{x^2}}} \ge {3^{2x}}\\{\log _3}\left( {x + 25} \right) \le 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} \ge 2x\\0 < x + 25 \le {3^3}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \le 0\\x \ge 2\end{array} \right.\\ - 25 < x \le 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 25 < x \le 0\\x = 2\end{array} \right.\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Trường hợp này có 26 giá trị nguyên \(x \in \left\{ { - 24; - 23; - 22;...;0;2} \right\}\).
TH2:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{3^{{x^2}}} - {9^x} \le 0\\{\log _3}\left( {x + 25} \right) - 3 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{3^{{x^2}}} \le {3^{2x}}\\{\log _3}\left( {x + 25} \right) \ge 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} \le 2x\\x + 25 \ge 27\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 2\\x \ge 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Trường hợp này có 1 nghiệm nguyên \(x\) thuộc trường hợp 1.
Vậy có tất cả 26 nghiệm nguyên \(x\) thỏa mãn bất phương trình.
Bất phương trình \(\log_{{\frac{4}{{25}}}}(x + 1) \ge \log_{{\frac{2}{5}}}x\) tương đương với bất phương trình nào dưới đây?
Ta có ${\log _{\frac{4}{{25}}}}\left( {x + 1} \right) = \dfrac{1}{2}{\log _{\frac{2}{5}}}\left( {x + 1} \right)$ nên bất phương trình đã cho tương đương với:
$\dfrac{1}{2}{\log _{\frac{2}{5}}}\left( {x + 1} \right) \ge {\log _{\frac{2}{5}}}x \Leftrightarrow {\log _{\frac{2}{5}}}\left( {x + 1} \right) \ge 2{\log _{\frac{2}{5}}}x$
Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + 1} \right) < {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 1} \right)\) chứa bao nhiêu số nguyên?
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 1 > 0\\2x - 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 1\\x > \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x > \dfrac{1}{2}.\)
\(\begin{array}{l}{\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + 1} \right) < {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow x + 1 > 2x - 1\\ \Leftrightarrow x < 2\end{array}\)
Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: \(S = \left( {\dfrac{1}{2};\,\,2} \right)\)
\( \Rightarrow \) Nghiệm nguyên của bất phương trình là: \(x = 1.\)
Vậy có 1 giá trị nguyên của bất phương trình đã cho.
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _3}\left( {2x + 3} \right) < {\log _3}\left( {1 - x} \right)\)
ĐK: \( - \dfrac{3}{2} < x < 1\).
Ta có \({\log _3}\left( {2x + 3} \right) < {\log _3}\left( {1 - x} \right) \Leftrightarrow 2x + 3 < 1 - x \Leftrightarrow 3x < - 2 \Leftrightarrow x < - \dfrac{2}{3}\)
Kết hợp điều kiện \( - \dfrac{3}{2} < x < 1\) ta có tập nghiệm \(S = \left( { - \dfrac{3}{2}; - \dfrac{2}{3}} \right)\)
Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _3}\left| x \right| \le 0\) là:
Điều kiện: \(x \ne 0.\)
\({\log _3}\left| x \right| \le 0 \Leftrightarrow \left| x \right| \le {3^0}\)\( \Leftrightarrow \left| x \right| \le 1 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 1\)
\( \Rightarrow \) Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: \(S = \left[ { - 1;\,\,1} \right]\backslash \left\{ 0 \right\}.\)
Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _8}{\left( {{x^2} + 3x - 1} \right)^3} \ge - {\log _{0,5}}\left( {x + 2} \right)\) là:
\({\log _8}{\left( {{x^2} + 3x - 1} \right)^3} \ge - {\log _{0,5}}\left( {x + 2} \right)\,\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 3x - 1 > 0\\x + 2 > 0\\{\log _{{2^3}}}{\left( {{x^2} + 3x - 1} \right)^3} \ge - {\log _{{2^{ - 1}}}}\left( {x + 2} \right)\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x > \dfrac{{ - 3 + \sqrt {13} }}{2}\\x < \dfrac{{ - 3 - \sqrt {13} }}{2}\end{array} \right.\\x > - 2\\{\log _2}\left( {{x^2} + 3x - 1} \right) \ge {\log _2}\left( {x + 2} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \dfrac{{ - 3 + \sqrt {13} }}{2}\\{x^2} + 3x - 1 \ge x + 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \dfrac{{ - 3 + \sqrt {13} }}{2}\\{x^2} + 2x - 3 \ge 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \dfrac{{ - 3 + \sqrt {13} }}{2}\\\left[ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \le - 3\end{array} \right.\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow x \ge 1\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: \(\left[ {1; + \infty } \right).\)
Bất phương trình \(\frac{1}{2}{\log _2}\left( {{x^2} + 4x - 5} \right) > {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {\frac{1}{{x + 7}}} \right)\) có tập nghiệm là khoảng \(\left( {a;b} \right)\). Giá trị của \(5b - a\) bằng
Ta có \(\frac{1}{2}{\log _2}\left( {{x^2} + 4x - 5} \right) > {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {\frac{1}{{x + 7}}} \right)\)
TXĐ: \(\left[ \begin{array}{l}x > 1\\ - 7 < x < - 5\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}{\log _2}\left( {{x^2} + 4x - 5} \right) > - {\log _2}\left( {\frac{1}{{x + 7}}} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _2}\sqrt {{x^2} + 4x - 5} + {\log _2}\left( {\frac{1}{{x + 7}}} \right) > 0\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left[ {\frac{{\sqrt {{x^2} + 4x - 5} }}{{x + 7}}} \right] > 0\\ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {{x^2} + 4x - 5} }}{{x + 7}} > 1\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 4x - 5} > x + 7 > 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 4x - 5 > {x^2} + 14x + 49\\ \Leftrightarrow x < - \frac{{27}}{5}\end{array}\)
Kết hợp điều kiện ta có \( - 7 < x < - \frac{{27}}{5}\).
Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}a = - 7\\b = - \frac{{27}}{5}\end{array} \right. \Rightarrow 5b - a = - 20\).
Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + 1} \right) < {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 1} \right)\) chứa bao nhiêu số nguyên?
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 1 > 0\\2x - 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 1\\x > \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x > \dfrac{1}{2}.\)
\(\begin{array}{l}{\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + 1} \right) < {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow x + 1 > 2x - 1\\ \Leftrightarrow x < 2\end{array}\)
Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: \(S = \left( {\dfrac{1}{2};\,\,2} \right)\)
\( \Rightarrow \) Nghiệm nguyên của bất phương trình là: \(x = 1.\)
Vậy có 1 giá trị nguyên của bất phương trình đã cho.
Tập nghiệm của bất phương trình \( - \log _3^2\left( {x - 1} \right) + 3{\log _3}\left( {x - 1} \right) - 2 \ge 0\) là
\(\begin{array}{l} - \log _3^2\left( {x - 1} \right) + 3{\log _3}\left( {x - 1} \right) - 2 \ge 0\\ \Leftrightarrow 1 \le {\log _3}\left( {x - 1} \right) \le 2\\ \Leftrightarrow {3^1} \le x - 1 \le {3^2}\\ \Leftrightarrow 3 \le x - 1 \le 9\\ \Leftrightarrow 4 \le x \le 10\end{array}\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left[ {4;10} \right]\).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 102
Có bao nhiêu số nguyên \(x\) thỏa mãn \(\left( {{3^{{x^2}}} - {9^x}} \right)\left( {{{\log }_2}\left( {x + 30} \right) - 5} \right) \le 0\)?
Điều kiện xác định: \(x > - 30\)
TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}{3^{{x^2}}} - {9^x} \le 0\\{\log _2}\left( {x + 30} \right) - 5 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{3^{{x^2}}} \le {9^x}\\{\log _2}\left( {x + 30} \right) \ge 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} \le 2x\\x + 30 \ge {2^5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 2\\x \ge 2\end{array} \right.\) \( \Rightarrow x = 2\) (tmđk)
Nên có \(1\) giá trị \(x\) thỏa mãn.
TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}{3^{{x^2}}} - {9^x} \ge 0\\{\log _2}\left( {x + 30} \right) - 5 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{3^{{x^2}}} \ge {9^x}\\{\log _2}\left( {x + 30} \right) \le 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} \ge 2x\\x + 30 \le {2^5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \le 0\end{array} \right.\\x \le 2\end{array} \right.\)
Kết hợp với ĐK: \(x > - 30\) ta được \(x = \left\{ { - 29;....; - 1;0} \right\}\) nên có \(30\) giá trị \(x\) thỏa mãn.
Vậy có \(30 + 1 = 31\) giá trị \(x\) thỏa mãn.
