Câu hỏi:
1 năm trước
Xét các số thực không âm \(a,\,\,b\) thỏa mãn \(3a + 2b \le {\log _2}\left( {3a + 2b} \right) + 1\). Giá trị nhỏ nhất của \({a^2} + {b^2}\) bằng bao nhiêu?
Điền số nguyên hoặc phân số dạng a/b
Đáp án:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án:
Đáp án:
Ta xét \(3a + 2b \le {\log _2}\left( {3a + 2b} \right) + 1\) (1)
Đặt \(t = 3a + 2b\,\,\left( {t \ge 0} \right)\).
Phương trình (1) tương đương với: \(t \le {\log _2}\left( t \right) + 1\)
\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( t \right) - t + 1 \ge 0\).
Đặt \(f\left( t \right) = {\log _2}\left( t \right) - t + 1 \ge 0\).
Ta có \(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t.\ln 2}} - 1 > 0\)
\( \Leftrightarrow t < \dfrac{1}{{\ln 2}}\).
\( \Rightarrow \) Hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\dfrac{1}{{\ln 2}}} \right)\).
Giả sử \(t < 1\), ta có \(f\left( t \right) < f\left( 1 \right) = 0\) (mâu thuẫn với \(f\left( t \right) \ge 0\)).
Do đó \(t \ge 1\)
\( \Leftrightarrow 3a + 2b \ge 1\).
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta có:
\({\left( {3a + 2b} \right)^2} \le \left( {{3^2} + {2^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right) = 13\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\).
\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge \dfrac{{{{\left( {3a + 2b} \right)}^2}}}{{13}} \ge \dfrac{{{1^2}}}{{13}} = \dfrac{1}{{13}}\).
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a + 2b = 1\\\dfrac{a}{3} = \dfrac{b}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{3}{{13}}\\b = \dfrac{2}{{13}}\end{array} \right.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \({a^2} + {b^2}\) bằng \(\dfrac{1}{{13}}\).
Hướng dẫn giải:
Bước 1: Đặt \(t = 3a + 2b\,\,\left( {t \ge 0} \right)\). Đưa bất phương trình ban đầu về dạng \(f\left( t \right) \ge 0\).
Bước 2: Chứng minh \(t \ge 1\).
Bước 3: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz để tìm giá trị nhỏ nhất của \({a^2} + {b^2}\) và kết luận.
