Câu hỏi:
2 năm trước
Bất phương trình \(\frac{1}{2}{\log _2}\left( {{x^2} + 4x - 5} \right) > {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {\frac{1}{{x + 7}}} \right)\) có tập nghiệm là khoảng \(\left( {a;b} \right)\). Giá trị của \(5b - a\) bằng
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Ta có \(\frac{1}{2}{\log _2}\left( {{x^2} + 4x - 5} \right) > {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {\frac{1}{{x + 7}}} \right)\)
TXĐ: \(\left[ \begin{array}{l}x > 1\\ - 7 < x < - 5\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}{\log _2}\left( {{x^2} + 4x - 5} \right) > - {\log _2}\left( {\frac{1}{{x + 7}}} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _2}\sqrt {{x^2} + 4x - 5} + {\log _2}\left( {\frac{1}{{x + 7}}} \right) > 0\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left[ {\frac{{\sqrt {{x^2} + 4x - 5} }}{{x + 7}}} \right] > 0\\ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {{x^2} + 4x - 5} }}{{x + 7}} > 1\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 4x - 5} > x + 7 > 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 4x - 5 > {x^2} + 14x + 49\\ \Leftrightarrow x < - \frac{{27}}{5}\end{array}\)
Kết hợp điều kiện ta có \( - 7 < x < - \frac{{27}}{5}\).
Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}a = - 7\\b = - \frac{{27}}{5}\end{array} \right. \Rightarrow 5b - a = - 20\).
Hướng dẫn giải:
Áp dụng các tính chất của hàm logarit:
+) \({\log _{\frac{1}{a}}}b = - {\log _a}b\,\,\left( {0 < a \ne 1,\,\,b > 0} \right)\)
+) \({\log _a}b > {\log _a}c \Rightarrow b > c\,\,\,\,\left( {a > 1,\,\,b,c > 0} \right)\)
