Lũy thừa (số mũ hữu tỉ) - Định nghĩa và tính chất

Ta có:

${\left( {\sqrt[{12}]{a}} \right)^6} = \sqrt[{12}]{{{a^6}}} = {a^{\frac{6}{{12}}}} = {a^{\frac{1}{2}}} = \sqrt a$ nên A đúng.

$\sqrt[{12}]{{\sqrt[6]{a}}} = \sqrt[{12.6}]{a} = \sqrt[{72}]{a} \ne \sqrt a$ nên B sai.

${\left( {\sqrt[{12}]{{{a^6}}}} \right)^2} = \sqrt[{12}]{{{{\left( {{a^6}} \right)}^2}}} = \sqrt[{12}]{{{a^{12}}}} = a$ nên C đúng.

${\left( {\sqrt[{12}]{{{a^2}}}} \right)^6} = \sqrt[{12}]{{{{\left( {{a^2}} \right)}^6}}} = \sqrt[{12}]{{{a^{12}}}} = a$ nên D đúng.

Với $a \ne 0, n\in Z, n>0$ thì ${a^{ - n}} = \dfrac{1}{{{a^n}}}$.

Cho $a > 0,m,n \in Z,n \ge 2$, khi đó ${a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}$.

Theo định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỉ: $a > 0:{a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\left( {m,n \in Z,n \ge 2} \right)$ nên ${a^{\frac{1}{n}}} = \sqrt[n]{a}$.

Với $m,n \in Z$ thì ${a^{mn}} = {\left( {{a^m}} \right)^n}$.

Với $a > 1,m > 0,m \in Z$ thì ${a^m} > {a^0} = 1 \Rightarrow {a^m} > 1$.

Với $0 < a < b,m \in {N^*}$ thì ${a^m} < {b^m}$.

Vì $1 < \dfrac{6}{5} < \dfrac{5}{4}$ và $m \in {N^*}$ nên ${\left( {\dfrac{5}{4}} \right)^m} > {\left( {\dfrac{6}{5}} \right)^m} > 1$.

Cho số thực $b$ và số nguyên dương $n\left( {n \ge 2} \right)$. Số $a$ được gọi là căn bậc $n$ của số $b$ nếu ${a^n} = b$.

Căn bậc $n$ lẻ của số thực $b$ kí hiệu là $\sqrt[n]{b}$.

Với $n$ chẵn thì $\sqrt[n]{b}$ tồn tại nếu $b \ge 0$.

Ta có: ${\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{mn}} = {a^{nm}} = {\left( {{a^n}} \right)^m}$.

Với $a > 1$ thì ${a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m > n$.

Đáp án A: Vì $\dfrac{3}{4} > \dfrac{1}{2},m \in {N^*}$ nên ${\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^m} > {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^m}$ (đúng).

Đáp án B: Vì $\dfrac{4}{3} > 1,m \in {N^*}$ nên $1 = {1^m} < {\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^m}$ (đúng).

Đáp án C: Vì $\dfrac{2}{3} < \dfrac{3}{4},m \in {N^*}$ nên ${\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^m} < {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^m}$ (đúng).

Đáp án D: Vì $\dfrac{{13}}{7} < 2,m \in {N^*}$ nên ${\left( {\dfrac{{13}}{7}} \right)^m} < {2^m}$ (D sai).

Với $1 < a < b,m \in {N^*}$ thì ${1^m} < {a^m} < {b^m} \Rightarrow 1 < {a^m} < {b^m}$.

Vì $- 12 < 0$ và căn bậc $6$ là căn bậc chẵn nên không tồn tại căn bậc $6$ của $- 12$.

- Số $0$ có một căn bậc $n$ duy nhất là $0$ (D đúng, A sai).

- Số $1$ có một căn bậc $n$ nếu $n$ lẻ và có hai căn bậc $n$ nếu $n$ chẵn (B, C sai).

- Nếu $n$ lẻ thì $\sqrt[n]{{{a^n}}} = a$ nên B đúng, D sai.

- Nếu $n$ chẵn thì $\sqrt[n]{{{a^n}}} = a$ nếu $a > 0$ và $\sqrt[n]{{{a^n}}} =  - a$ nếu $a < 0$ nên A, C sai.

Cho $a \ge 0,b \ge 0,n \in {N^*}$, khi đó $\sqrt[n]{{ab}} = \sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}$.

Cho $a \ge 0,m,n \in {N^*}$ ta có: $\sqrt[{mn}]{a} = \sqrt[n]{{\sqrt[m]{a}}}$