Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = \dfrac{m}{3}{x^3} - (m + 1){x^2} + (m - 2)x - 3m$ nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ; + \infty {\rm{\;}}} \right)$.

+) Nếu $\dfrac{m}{3} = 0 \Leftrightarrow m = 0$ thì $y = \dfrac{m}{3}{x^3} - (m + 1){x^2} + (m - 2)x - 3m \Leftrightarrow y =  - {x^2} - 2x$ là hàm số bậc hai $ \Rightarrow $Không nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ; + \infty {\rm{\;}}} \right)$.

+) Nếu $\dfrac{m}{3} \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 0$ thì $y = \dfrac{m}{3}{x^3} - (m + 1){x^2} + (m - 2)x - 3m$ là hàm số bậc ba

Ta có:

$\begin{array}{*{20}{l}}{y' = m{x^2} - 2(m + 1)x + m - 2}\\{y' = 0 \Leftrightarrow m{x^2} - 2(m + 1)x + m - 2 = 0}\end{array}$

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ; + \infty {\rm{\;}}} \right)$

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{m}{3} < 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\{\left( {m + 1} \right)^2} - m\left( {m - 2} \right) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\{m^2} + 2m + 1 - {m^2} + 2m \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\4m + 1 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\m \le  - \dfrac{1}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le  - \dfrac{1}{4}\end{array}\)

Vậy \(m \le  - \dfrac{1}{4}\) .