Tìm giá trị của m để hàm số $y =  - \dfrac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + \left( {2m - 3} \right)x - m + 2$ nghịch biến trên tập xác định.

Tập xác định: $D = R.$

Ta có: $y' =  - {x^2} - 2mx + 2m - 3$$ \Rightarrow $ Hàm số nghịch biến trên tập xác định

$ \Leftrightarrow y' \le 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in R \Leftrightarrow  - {x^2} - 2mx + 2m - 3 \le 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \in R$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a < 0}\\{\Delta ' \le 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 1 < 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall {\mkern 1mu} m}\\{{m^2} + 2m - 3 \le 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow  - 3 \le m \le 1.$

+) Xét với $m =  - 3$ ta có: $y' =  - {x^2} + 6x - 9 =  - {\left( {x - 3} \right)^2} \le 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in R \Rightarrow m =  - 3$ thì hàm số nghịch biến trên R.

+) Xét với $m = 1$ ta có: $y' =  - {x^2} - 2x - 1 =  - {\left( {x + 1} \right)^2} \le 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in R \Rightarrow m = 1$ thì hàm số nghịch biến trên R.