Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Ta có $y = \dfrac{{mx + 4}}{{x + m}} \Rightarrow y' = \dfrac{{{m^2} - 4}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \ne  - {\mkern 1mu} m.$

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y' < 0}\\{x = {\rm{\;}} - m \notin \left( { - \infty ;1} \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{m^2} - 4 < 0}\\{ - m \ge 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow {\rm{\;}} - 2 < m \le  - 1.$

TXĐ: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - m} \right\}$.

Ta có $y' = \dfrac{{m\left( {m + 1} \right) - 2m - 2}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}} = \dfrac{{{m^2} - m - 2}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}$.

Để hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - 1; + \infty {\rm{\;}}} \right)$ thì

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y' < 0}\\{ - m \notin \left( { - 1; + \infty } \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{m^2} - m - 2 < 0}\\{ - m \le {\rm{\;}} - 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 1 < m < 2}\\{m \ge 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow 1 \le m < 2$.

Ta có $\sqrt[3]{{{x^4} + {x^2} + m}} - \sqrt[3]{{2{x^2} + 1}} + {x^2}\left( {{x^2} - 1} \right) > 1 - m$

$\Leftrightarrow \sqrt[3]{{{x^4} + {x^2} + m}} - \sqrt[3]{{2{x^2} + 1}} + {x^4} - {x^2} > 1 - m$

$\Leftrightarrow \sqrt[3]{{{x^4} + {x^2} + m}} + {x^4} + {x^2} + m > \sqrt[3]{{2{x^2} + 1}} + 2{x^2} + 1$  (*)

Xét hàm số $f\left( t \right) = {t^3} + t\,\,\, \Rightarrow y' = 2{t^2} + 1 > 0$  nên hàm số $f\left( t \right)$ là hàm đồng biến

Khi đó phương trình (*) trở thành:

$f\left( {\sqrt[3]{{{x^4} + {x^2} + m}}} \right) > f\left( {\sqrt[3]{{2{x^2} + 1}}} \right)$ $\Leftrightarrow \sqrt[3]{{{x^4} + {x^2} + m}} > \sqrt[3]{{2{x^2} + 1}}$ $\Leftrightarrow {x^4} + {x^2} + m > 2{x^2} + 1$ $\Leftrightarrow m > {\rm{\;}} - {x^4} + {x^2} + 1$

Xét hàm số $g\left( x \right) =  - {x^4} + {x^2} + 1$  với $x > 1$

Có $g'\left( x \right) =  - 4{x^3} + 2x =  - 2x\left( {2{x^2} - 1} \right) < 0;\,\forall x > 1$

Ta có BBT của hàm $g\left( x \right) =  - {x^4} + {x^2} + 1$ với $x > 1$

Từ BBT suy ra $m \ge 1.$

Năm 2018 có kinh phí dự trù là :

$2 \times {10^9} - 200 = 18 \times {10^8}$ (đồng)

Số tiền chi cho mua sách năm 2018 là :

$2 \times {10^9}:100 \times 10 - 38 \times {10^6} = 162 \times {10^6}$ (đồng)

Số tiền chi cho mua sách năm 2018 chiếm số phần trăm tổng kinh phí dự trù của năm đó là :

$162 \times {10^6}:\left( {18 \times {{10}^8}} \right) \times 100 = 9\%$

Biểu đồ có lương giáo viên chiếm 45%; lương cán bộ quản lí chiếm 15%.

Lương cán bộ quản lí ít hơn lương chi cho giáo viên theo phân bổ dự trù kinh phí năm là : $45\%  - 15\%  = 30\% .$

Biểu đồ có lương cán bộ quản lí chiếm 15%.

Trong năm 2019, trường phổ thông đó chi số tiền cho lương cán bộ quản lí là :

$2 \times {10^9}:100 \times 15 = 3 \times {10^8}$ (đồng) hay 300 triệu đồngChọn B.

Trong khoảng từ $\left( {0;1} \right)$ đồ thị hàm số đi lên nên $f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( {0;1} \right)$.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - 3;\, - 1} \right)$ và $\left( {1;\,\,2} \right).$

Hàm số nghịch biến trên các khoảng: $\left( { - 1;\,1} \right)$ và $\left( {2;\,\,3} \right).$ 

Ta có : $f'\left( x \right) =  - 3{x^2} - 12x + \left( {4m - 9} \right)$

Hàm số đã cho nghịch biến trên $\left( { - \infty ; - 1} \right) \Leftrightarrow f'\left( x \right) \le 0\,\,\forall x \in \left( { - \infty ; - 1} \right)$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow  - 3{x^2} - 12x + \left( {4m - 9} \right) \le 0\;\;\forall x \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\\ \Leftrightarrow 4m \le 3{x^2} + 12x + 9 = g\left( x \right)\;\;\forall x \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\\ \Rightarrow 4m \le \mathop {\min }\limits_{\left( { - \infty ; - 1} \right)} g\left( x \right)\end{array}$

Xét hàm số :$g\left( x \right) = 3{x^2} + 12x + 9$  ta có :  $g'\left( x \right) = 6x + 12 = 0 \Leftrightarrow x =  - 2$

$\Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left( { - \infty ; - 1} \right)} g\left( x \right) = g\left( { - 2} \right) =  - 3$

$\Rightarrow 4m \le  - 3 \Leftrightarrow m \le  - \dfrac{3}{4}$

Bước 1: Giải phương trình $f'\left( x \right) = 0$ tìm nghiệm bội lẻ.

Ta có $f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1}\\{x = 1}\\{x = 2}\end{array}} \right.$

Vì $x=-1$ là nghiệm bộ 2 của phương trình nên $x=-1$ không là điểm cực trị.

Bước 2: Lập bảng biến thiên và tìm khoảng đồng biến.

Ta có bảng biến thiên:

=> Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng $(1;2)$.

Dựa vào đồ thị hàm số ta có hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;\,0} \right)$ và $\left( {2;\, + \infty } \right).$

Hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( {0;\,\,2} \right).$

Xét hàm số: $y =  - 2f\left( x \right)$ ta có: $y' =  - 2f'\left( x \right).$

Hàm số đồng biến $\Leftrightarrow  - 2f'\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow 0 \le x \le 2.$

Vậy hàm số $y =  - 2f\left( x \right)$ đồng biến $\Leftrightarrow x \in \left[ {0;\,2} \right].$

Hàm số đã cho nghịch biến trên $\left( { - \infty ; - 2} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$.

Ta có: $g'\left( x \right) = 2x\,f'\left( {{x^2} - 2} \right)$

Cho $g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} - 2 =  - 1\\{x^2} - 2 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  \pm 1\\x =  \pm 2\end{array} \right.$.

Vì -1 là điểm cực đại của $f'(x)$ nên $\pm 1$ là điểm cực đại của $f'(x^2-2)$. Do đó $f'(x^2-2)$ không đổi dấu qua $\pm 1$ và luôn mang dấu dương.

Bảng xét dấu $g'\left( x \right)$:

Vậy hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( { - 1;0} \right)$ là phát biểu sai.

TXĐ: $D = \mathbb{R}$.

Ta có: $y' = 3{x^2} - 6x,\,\,\,y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.$.

Bảng xét dấu đạo hàm:

Dựa vào bảng xét dấu ta suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {0;2} \right).$

Ta có: $y' =  - 2f'\left( {1 - 2x} \right)$.

Với $x = 1 \Rightarrow y'\left( 1 \right) =  - 2f'\left( { - 1} \right) > 0 \Rightarrow$ Loại đáp án B, C, D.

Ta có: $y' = 6{x^2} - 18x + 12$.

$y' < 0 \Leftrightarrow 6{x^2} - 18x + 12 < 0 \Leftrightarrow 1 < x < 2$.

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên $\left( {1;2} \right)$.

ĐKXĐ: $x \ne m$.

Ta có: $y' = \dfrac{{ - {m^2} + 4}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}$.

Để hàm số đồng biến trên $\left( { - 1; + \infty } \right)$ thì $\left\{ \begin{array}{l}y' > 0\\m \notin \left( { - 1; + \infty } \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {m^2} + 4 > 0\\m \le  - 1\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 < m < 2\\m \le  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 2 < m \le  - 1$.

Vậy $m \in \left( { - 2; - 1} \right]$.

Xét hàm số: $y = {x^3} - 3\left( {2m + 1} \right){x^2} + \left( {12m + 5} \right) + 2$

$\begin{array}{l} \Rightarrow y' = 3{x^2} - 6\left( {2m + 1} \right)x + 12m + 5\\ \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6\left( {2m + 1} \right)x + 12m + 5 = 0\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}$

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right).$ khi và chỉ khi $y' \ge 0\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3{x^2} - 6\left( {2m - 1} \right)x + 12m + 5 \ge 0\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow m \le \dfrac{{3{x^2} - 6x + 5}}{{12\left( {x - 1} \right)}}\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\end{array}$

Xét hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{{3{x^2} - 6x + 5}}{{12\left( {x - 1} \right)}},\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)$

Ta có: $f'\left( x \right) = \dfrac{{3{x^2} - 6x + 1}}{{12{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)$

$\Rightarrow$Hàm số $f'\left( x \right)$ đồng biến trong khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$

Do đó $m \le f\left( x \right),\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)$$\Rightarrow m \le f\left( 2 \right) \Leftrightarrow m \le \dfrac{5}{{12}}$

Vì $0 < m \le \dfrac{5}{{12}}$

Do đó không có giá trị nguyên dương nào của m thỏa mãn bài toán.

Loại đáp án A và B vì hàm bậc bốn trùng phương và hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất không thể nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Loại đáp án D vì hàm đa thức bậc ba với hệ số của ${x^3}$ dương không thể nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Đặt $g\left( x \right) = f\left( {2 - 3x} \right)$ ta có: $g'\left( x \right) =  - 3f'\left( {2 - 3x} \right)$.

Xét $g'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow  - 3f'\left( {2 - 3x} \right) > 0$ $\Leftrightarrow f'\left( {2 - 3x} \right) < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 - 3x <  - 3\\0 < 2 - 3x < 1\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > \dfrac{5}{3}\\1 < 3x < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > \dfrac{5}{3}\\\dfrac{1}{3} < x < \dfrac{2}{3}\end{array} \right.$.

Suy ra hàm số $y = f\left( {2 - 3x} \right)$ đồng biến trên $\left( {\dfrac{5}{3}; + \infty } \right)$ và $\left( {\dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3}} \right)$.

Dựa vào các đáp án ta thấy hàm số đồng biến trên $\left( {2;3} \right)$.