Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị nguyên dương của \(m\) để hàm số \(y = {x^3} - 3\left( {2m + 1} \right){x^2} + \left( {12m + 5} \right)x + 2\) đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right).\) Số phần tử của \(S\) bằng:

Xét hàm số: \(y = {x^3} - 3\left( {2m + 1} \right){x^2} + \left( {12m + 5} \right) + 2\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow y' = 3{x^2} - 6\left( {2m + 1} \right)x + 12m + 5\\ \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6\left( {2m + 1} \right)x + 12m + 5 = 0\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right).\) khi và chỉ khi \(y' \ge 0\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3{x^2} - 6\left( {2m - 1} \right)x + 12m + 5 \ge 0\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow m \le \dfrac{{3{x^2} - 6x + 5}}{{12\left( {x - 1} \right)}}\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{3{x^2} - 6x + 5}}{{12\left( {x - 1} \right)}},\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\)

Ta có: \(f'\left( x \right) = \dfrac{{3{x^2} - 6x + 1}}{{12{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\)

\( \Rightarrow \)Hàm số \(f'\left( x \right)\) đồng biến trong khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\)

Do đó \(m \le f\left( x \right),\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\)\( \Rightarrow m \le f\left( 2 \right) \Leftrightarrow m \le \dfrac{5}{{12}}\)

Vì \(0 < m \le \dfrac{5}{{12}}\)

Do đó không có giá trị nguyên dương nào của m thỏa mãn bài toán.