Tìm tất cả giá trị $m$ để đồ thị hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + 2$ cắt đường thẳng $y = m$ tại $3$ điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn $\dfrac{{ - 1}}{2}$
Xét hàm $y = {x^3} - 3{x^2} + 2$ trên khoảng \(\left( { - \dfrac{1}{2}; + \infty } \right)\) có \(y' = 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\left( {TM} \right)\\x = 2\left( {TM} \right)\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Quan sát bảng biến thiên ta thấy, đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn \( - \dfrac{1}{2}\) khi và chỉ khi \(\dfrac{9}{8} < m < 2\).
Cho hàm số \(y = {x^3} + 2m{x^2} + (m + 3)x + 4\,\,\,\left( {{C_m}} \right)\). Giá trị của tham số $m$ để đưởng thẳng \((d):y = x + 4\) cắt $\left( {{C_m}} \right)$
tại ba điểm phân biệt $A\left( {0;4} \right),B,C$ sao cho tam giác $KBC$ có diện tích bằng $8\sqrt 2 $ với điểm $K\left( {1;3} \right)$ là:
+ Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng ta có:
${x^3} + 2m{x^2} + \left( {m + 3} \right)x + 4 = x + 4$ $ \Leftrightarrow x\left( {{x^2} + 2mx + m + 2} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} + 2mx + \left( {m + 2} \right) = 0\,\,\,\,\,(1)\end{array} \right.$
Điều kiện để $\left( 1 \right)$ có 2 nghiệm phân biệt:
\(\Delta = {(2m)^2} - 4(m + 2)\) \( = 4(m - 2)(m + 1) > 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < - 1\end{array} \right.\)
Gọi \({x_1};{x_2}\) là $2$ nghiệm phân biệt của \(\left( 1 \right) \Rightarrow B\left( {{x_1};{x_1} + 4} \right);\,C\left( {{x_2};{x_2} + 4} \right)\)
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2m\\{x_1}.{x_2} = m + 2\end{array} \right.\)
Vì $B,C$ thuộc đường thẳng $\left( d \right)$ nên ta có: ${S_{KBC}} = \dfrac{1}{2}.d\left( {K,BC} \right).BC$
Lại có
\(BC = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2}} = \sqrt {2{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}} \)\( \Rightarrow B{C^2} = 2{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 2\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \right]\) \( = 2\left[ {{{\left( { - 2m} \right)}^2} - 4.\left( {m + 2} \right)} \right] = 2\left( {4{m^2} - 4m - 8} \right) = 8\left( {{m^2} - m - 2} \right)\) \( \Rightarrow BC = \sqrt {8\left( {{m^2} - m - 2} \right)} \)
Và \(d\left( {K,BC} \right) = \dfrac{{\left| {1 - 3 + 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \sqrt 2 \) nên \({S_{KBC}} = 8\sqrt 2 \) \( \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.\sqrt 2 .\sqrt {8\left( {{m^2} - m - 2} \right)} = 8\sqrt 2 \) \( \Leftrightarrow \sqrt {8\left( {{m^2} - m - 2} \right)} = 16 \Leftrightarrow {m^2} - m - 34 = 0\) \( \Leftrightarrow m = \dfrac{{1 \pm \sqrt {37} }}{2}\left( {TM} \right)\)
Có bao nhiêu số nguyên \(m\) để phương trình \(x + 3 = m{e^x}\) có 2 nghiệm phân biệt?
\(x + 3 = m{e^x} \Leftrightarrow m = \dfrac{{x + 3}}{{{e^x}}} = f\left( x \right)\,\,\left( * \right)\,\,\left( {Do\,\,{e^x} > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}} \right)\).
Để phương trình \(x + 3 = m{e^x}\) có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt.
Xét hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{x + 3}}{{{e^x}}}\) ta có: \(f'\left( x \right) = \dfrac{{{e^x} - \left( {x + 3} \right){e^x}}}{{{e^{2x}}}} = \dfrac{{ - x - 2}}{{{e^x}}} = 0 \Leftrightarrow x = - 2\).
BBT:
Số nghiệm của phương trình \(m = f\left( x \right)\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = m\) và \(y = f\left( x \right)\).
Dựa vào BBT ta có phương trình \(\left( * \right)\) có 2 nghiệm phân biệt \( \Rightarrow 0 < m < {e^2}\).
Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {1;2;3;4;5;6;7} \right\}\).
Đề thi THPT QG 2020 – mã đề 104
Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên.
Số nghiệm thực của phương trình \(f\left( x \right) = 2\) là:
Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 2\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = 2.\)
Ta có đồ thị hàm số:
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng \(y = 2\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại 3 điểm phân biệt.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thực của phương trình \(f'\left( {f\left( x \right)} \right) = 0\) là:
Dựa vào BBT ta thấy \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 5\end{array} \right.\).
Do đó \(f'\left( {f\left( x \right)} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = - 2\,\,\left( 1 \right)\\f\left( x \right) = 5\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\).
Dựa vào BBT ta thấy phương trình (1) có 1 nghiệm, phương trình 2 có 1 nghiệm.
Vậy phương trình \(f'\left( {f\left( x \right)} \right) = 0\) có 2 nghiệm phân biệt.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Biết rằng \(\left( C \right)\) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt là \(A\left( {{x_1};0} \right),\,\,B\left( {{x_2};0} \right)\), \(C\left( {{x_3};0} \right),\,\,D\left( {{x_4};0} \right)\), với \({x_1},{x_2},{x_3},{x_4}\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng và hai tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại A, B vuông góc với nhau. Khi đó, giá trị của biểu thức \(P = {\left[ {f'\left( {{x_3}} \right) + f'\left( {{x_4}} \right)} \right]^{2022}}\) bằng
Vì \(\left( C \right)\) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt \(A\left( {{x_1};0} \right),\,\,B\left( {{x_2};0} \right)\), \(C\left( {{x_3};0} \right),\,\,D\left( {{x_4};0} \right)\) nên
\(f\left( x \right) = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - {x_3}} \right)\left( {x - {x_4}} \right)\)
Gọi d là công sai của cấp số cộng ta có: \({x_i} - {x_{i'}} = d\left( {i - i'} \right)\).
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = a\left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - {x_3}} \right)\left( {x - {x_4}} \right) + \left( {x - {x_1}} \right)\left[ {a\left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - {x_3}} \right)\left( {x - {x_4}} \right)} \right]'\\ \Rightarrow f'\left( {{x_1}} \right) = - 6a{d^3}\end{array}\)
Tương tự ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( {{x_2}} \right) = 2a{d^3}\\f'\left( {{x_3}} \right) = - 2a{d^3}\\f'\left( {{x_4}} \right) = 6a{d^3}\end{array} \right.\).
Vì tiếp tuyến tại A, B vuông góc với nhau nên \(f'\left( {{x_1}} \right).f'\left( {{x_2}} \right) = - 1 \Leftrightarrow {a^2}{d^6} = \dfrac{1}{{12}}\).
Vậy \(P = {\left[ {f'\left( {{x_3}} \right) + f'\left( {{x_4}} \right)} \right]^{2022}} = {\left( {4a{d^3}} \right)^{2022}} = {\left( {16{a^2}{d^6}} \right)^{1011}} = {\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^{1011}}\).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 102
Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình \(f\left( {f\left( x \right)} \right) = 1\) là
Ta có: \(f\left( {f\left( x \right)} \right) = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = a\,\,\left( {a < - 1} \right)\\f\left( x \right) = 0\\f\left( x \right) = b\,\,\,\left( {1 < b < 2} \right)\end{array} \right.\)
Dựa vào đồ thị ta thấy: \(f\left( x \right) = a\) với \(a < - 1\) có \(1\) nghiệm.
\(f\left( x \right) = 0\) có \(3\) nghiệm.
\(f\left( x \right) = b\) với \(1 < b < 2\) có \(3\) nghiệm
Số nghiệm thực phân biệt của phương trình \(f\left( {f\left( x \right)} \right) = 1\) là \(7\)
Đề thi THPT QG 2020 – mã đề 104
Số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = - {x^2} + 3x\) và đồ thị hàm số \(y = {x^3} - {x^2}\) là
Số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = - {x^2} + 3x\) và đồ thị hàm số \(y = {x^3} - {x^2}\) là số nghiệm của phương trình:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\, - {x^2} + 3x = {x^3} - {x^2}\\ \Leftrightarrow {x^3} - 3x = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \sqrt 3 \end{array} \right.\end{array}\)
Vậy hai đồ thị hàm số đã cho cắt nhau tại 3 điểm phân biệt.
Đề thi THPT QG 2020 – mã đề 104
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên.
Số nghiệm thực của phương trình \(f\left( {{x^2}f\left( x \right)} \right) = 2\) là:
Ta có: \(f\left( {{x^2}f\left( x \right)} \right) = 2\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2}f\left( x \right) = 0\\{x^2}f\left( x \right) = {x_1} < 0\\{x^2}f\left( x \right) = {x_2} < 0\\{x^2}f\left( x \right) = {x_3} < 0\end{array} \right.\)
Xét phương trình: \({x^2}f\left( x \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\f\left( x \right) = 0\end{array} \right.\)
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) cắt trục \(Ox\) tại hai điểm phân biệt
\( \Rightarrow f\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt khác \(0.\)
\( \Rightarrow {x^2}f\left( x \right) = 0\) có ba nghiệm phân biệt.
Xét phương trình \({x^2}f\left( x \right) = {x_1} < 0\,\,\,\,\left( * \right)\)
Ta có: \({x^2} \ge 0\) và \(x = 0\) không là nghiệm của \(\left( * \right)\)
\( \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{{x_1}}}{{{x^2}}} < 0\)
Xét hàm số \(g\left( x \right) = \dfrac{{{x_1}}}{{{x^2}}}\) \( \Rightarrow g'\left( x \right) = - \dfrac{{2a}}{{{x^3}}}\)
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy với \(f\left( x \right) < 0\)\( \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{{x_1}}}{{{x^2}}}\) có 2 nghiệm phân biệt.
Tương tự với phương trình \({x^2}f\left( x \right) = {x_2}\) và \({x^2}f\left( x \right) = {x_3}\) với \({x_1},\,\,{x_2} < 0\) ta được mỗi phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Vậy phương trình \(f\left( {{x^2}f\left( x \right)} \right) = 2\) có \(9\) nghiệm phân biệt.
Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như hình vẽ. Tìm số nghiệm của phương trình \(|f(x)| = 1\).
Bước 1: Phá dấu giá trị tuyệt đối
Ta có \(|f(x)| = 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{f(x) = 1}\\{f(x) = - 1}\end{array}} \right.\)
Bước 2: Dựa vào bảng biến thiên tìm số giao điểm của đồ thị và các đường thẳng y=1; y=-1
Dựa vào bảng biến thiên ta được \(f(x) = 1\) có 2 nghiệm và \(f(x) = - 1\) có 3 nghiệm.
Vậy phương trình \(|f(x)| = 1\) có 5 nghiệm.
Số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 5{x^2} + 4\) với trục hoành là
Xét phương trình hoành độ giao điểm: \({x^4} - 5{x^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{x^2} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pm 2\\x = \pm 1\end{array} \right.\) .
Vậy số giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục hoành là 4.
Tìm điều kiện của $m$ để đồ thị hàm số $\left( {{C_m}} \right):y = {x^4} - m{x^2} + m - 1$ cắt trục hoành tại $4$ điểm phân biệt.
Xét phương trình hoành độ giao điểm ${x^4} - m{x^2} + m - 1 = 0$.
Đặt $t = {x^2},t \geqslant 0$ ta được phương trình ${t^2} - mt + m - 1 = 0$.
Để đồ thị hàm số $\left( {{C_m}} \right):y = {x^4} - m{x^2} + m - 1$ cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt thì phương trình ${t^2} - mt + m - 1 = 0$ phải có hai nghiệm dương phân biệt
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \Delta > 0 \hfill \\ S > 0 \hfill \\ P > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {m^2} - 4m + 4 > 0 \hfill \\ m > 0 \hfill \\ m - 1 > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m \ne 2 \hfill \\ m > 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Cho hàm số $y = {x^4} - 2\left( {2m + 1} \right){x^2} + 4{m^2}$$\left( 1 \right)$. Các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $\left( 1 \right)$ cắt trục hoành tại $4$ điểm phân biệt có hoành độ ${x_1},{x_2},{x_3},{x_4}$ thoả mãn ${x_1}^2 + {x_2}^2 + {x_3}^2 + {x_4}^2 = 6$
Đặt ${x^2} = t\left( {t \geqslant 0} \right)$
Phương trình ${x^4} - 2\left( {2m + 1} \right){x^2} + 4{m^2} = 0$ có 4 nghiệm phân biệt thỏa mãn $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 = 6$$ \Leftrightarrow {t^2} - 2\left( {2m + 1} \right)t + 4{m^2} = 0$ có hai nghiệm phân biệt dương thỏa mãn $2{t_1} + 2{t_2} = 6$ hay ${t_1} + {t_2} = 3$
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}S > 0 \hfill \\P > 0 \hfill \\\Delta ' > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\) $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2(2m + 1) > 0 \hfill \\ 4{m^2} > 0 \hfill \\ {\left( {2m + 1} \right)^2} - 4{m^2} > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow 2\left( {2m + 1} \right) = 3$$ \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{4}$
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên $R\backslash \left\{ { - 1;\,1} \right\}$, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên sau:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đường thẳng $y = 2m + 1$ cắt đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ tại hai điểm phân biệt.
Quan sát BBT ta thấy đường thẳng $y = 2m + 1$ cắt đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ tại hai điểm phân biệt $ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}2m + 1 < - 3 \hfill \\ 2m + 1 > 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m < - 2 \hfill \\ m > 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ. Với các giá trị nào của tham số m thì phương trình \(f\left( {\left| x \right|} \right) = 3m + 1\) có bốn nghiệm phân biệt.
Dựa vào đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) ta suy ra được đồ thị hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) như sau:
Số nghiệm của phương trình \(f\left( {\left| x \right|} \right) = 3m + 1\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) và đường thẳng \(y = 3m + 1\) song song với trục hoành.
Do đó để phương trình \(f\left( {\left| x \right|} \right) = 3m + 1\) có 4 nghiệm phân biệt thì \( - 2 < 3m + 1 < 0 \Leftrightarrow - 1 < m < - \dfrac{1}{3}\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm của phương trình \(\left| {f\left( x \right)} \right| = 2\) là:
Ta có \(\left| {f\left( x \right)} \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 2\\f\left( x \right) = - 2\end{array} \right.\)
Với \(f\left( x \right) = 2\) thì đường thẳng \(y = 2\) cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt.
Với \(f\left( x \right) = - 2\) thì đường thẳng \(y = - 2\) cắt đồ thị hàm số tại 2 điẻm phân biệt.
Vậy tổng có tất cả 4 nghiệm phân biệt.
Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 3\) là:
Đồ thị hàm số cắt đường thẳng \(y = 3\) tại 3 điểm phân biệt\( \Rightarrow f\left( x \right) = 3\) có 3 nghiệm phân biệt.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( {\left| {\dfrac{{3\sin x - \cos x - 1}}{{2\cos x - \sin x + 4}}} \right|} \right) = f\left( {{m^2} + 4m + 4} \right)\) có nghiệm?
Vì \( - 1 \le \sin x \le 1; - 1 \le \cos x \le 1\) nên \(2\cos x - \sin x > - 3 \Rightarrow 2\cos x - \sin x + 4 > 0\)
Đặt \(\dfrac{{3\sin x - \cos x - 1}}{{2\cos x - \sin x + 4}} = t \Leftrightarrow 3\sin x - \cos x - 1 = t\left( {2\cos x - \sin x + 4} \right)\)
\( \Leftrightarrow \cos x\left( {2t + 1} \right) - \sin x\left( {t + 3} \right) = - 4t - 1\)
Phương trình trên có nghiệm khi \({\left( {2t + 1} \right)^2} + {\left( {t + 3} \right)^2} \ge {\left( { - 4t - 1} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow 5{t^2} + 10t + 10 \ge 16{t^2} + 8t + 1\) \( \Leftrightarrow 11{t^2} - 2t - 9 \le 0 \Leftrightarrow - \dfrac{9}{{11}} \le t \le 1 \Rightarrow 0 \le \left| t \right| \le 1\)
Từ đồ thị hàm số ta thấy hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {0;1} \right)\)
Nên phương trình \(f\left( x \right) = f\left( {\left| t \right|} \right)\) với \(t \in \left[ {0;1} \right]\) có nghiệm duy nhất khi \(x = \left| t \right| \Rightarrow 0 \le x \le 1\)
Do đó phương trình \(f\left( {\left| {\dfrac{{3\sin x - \cos x - 1}}{{2\cos x - \sin x + 4}}} \right|} \right) = f\left( {{m^2} + m + 4} \right)\) có nghiệm
\( \Leftrightarrow \left| t \right| = {m^2} + 4m + 4\) có nghiệm với \(0 \le \left| t \right| \le 1\)
\( \Leftrightarrow 0 \le {m^2} + 4m + 4 \le 1 \Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} \le 1 \Leftrightarrow - 3 \le m \le - 1\)
Mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ { - 3; - 2; - 1} \right\}\). Vậy có 3 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu.
Mình cần đánh giá cho biểu thức này em nhé :\(\left( {2\cos x - \sin x + 4} \right)\)
Mục đích đánh giá là để có thể quy đồng sau khi đặt t. Từ đó tìm điều kiện cho t.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) sao cho phương trình \(2f\left( {\sin x - \cos x} \right) = m - 1\) có hai nghiệm
phân biệt trên khoảng \(\left( { - \dfrac{\pi }{4};\dfrac{{3\pi }}{4}} \right)?\)
Ta có \(\sin x - \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)\) mà \(x \in \left( { - \dfrac{\pi }{4};\dfrac{{3\pi }}{4}} \right) \Rightarrow \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) \in \left( { - 1;1} \right)\)
Đặt \(\sin x - \cos x = t\,\) thì \(t \in \left( { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\)
Đưa về bài toán tìm \(m\) để phương trình \(2f\left( t \right) = m - 1\) có hai nghiệm phân biệt trên khoảng \(\left( { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\)
Ta có \(2f\left( t \right) = m - 1 \Leftrightarrow f\left( t \right) = \dfrac{{m - 1}}{2}\)
Từ BBT ta suy ra \( - 4 < \dfrac{{m - 1}}{2} < 3 \Leftrightarrow - 8 < m - 1 < 6 \Leftrightarrow - 7 < m < 7\) mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 6; - 5;...;0;1;2;...;6} \right\}\)
Nên có \(13\) giá trị của \(m\) thỏa mãn đề bài.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình bên. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( x \right) = {\log _2}m\) có hai nghiệm phân biệt.
Phương trình \(f\left( x \right) = {\log _2}m\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \) đường thẳng \(y = {\log _2}m\) cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}m = 4\\{\log _2}m < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = {2^4}\\0 < m < {2^0}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 16\\0 < m < 1\end{array} \right.\).
