Cho hàm số \(y = {x^3} + 2m{x^2} + (m + 3)x + 4\,\,\,\left( {{C_m}} \right)\). Giá trị của tham số $m$ để đưởng thẳng \((d):y = x + 4\) cắt $\left( {{C_m}} \right)$

 tại ba điểm phân biệt $A\left( {0;4} \right),B,C$ sao cho tam giác $KBC$ có diện tích bằng $8\sqrt 2 $ với điểm $K\left( {1;3} \right)$ là:

+ Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng ta có:

${x^3} + 2m{x^2} + \left( {m + 3} \right)x + 4 = x + 4$ $ \Leftrightarrow x\left( {{x^2} + 2mx + m + 2} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} + 2mx + \left( {m + 2} \right) = 0\,\,\,\,\,(1)\end{array} \right.$

Điều kiện để $\left( 1 \right)$ có 2 nghiệm phân biệt:

\(\Delta  = {(2m)^2} - 4(m + 2)\) \( = 4(m - 2)(m + 1) > 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 2\\m <  - 1\end{array} \right.\)

Gọi \({x_1};{x_2}\) là $2$ nghiệm phân biệt của \(\left( 1 \right) \Rightarrow B\left( {{x_1};{x_1} + 4} \right);\,C\left( {{x_2};{x_2} + 4} \right)\)

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - 2m\\{x_1}.{x_2} = m + 2\end{array} \right.\)

Vì $B,C$ thuộc đường thẳng $\left( d \right)$ nên ta có: ${S_{KBC}} = \dfrac{1}{2}.d\left( {K,BC} \right).BC$

Lại có

\(BC = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2}}  = \sqrt {2{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}} \)\( \Rightarrow B{C^2} = 2{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 2\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \right]\) \( = 2\left[ {{{\left( { - 2m} \right)}^2} - 4.\left( {m + 2} \right)} \right] = 2\left( {4{m^2} - 4m - 8} \right) = 8\left( {{m^2} - m - 2} \right)\) \( \Rightarrow BC = \sqrt {8\left( {{m^2} - m - 2} \right)} \)

Và \(d\left( {K,BC} \right) = \dfrac{{\left| {1 - 3 + 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \sqrt 2 \) nên \({S_{KBC}} = 8\sqrt 2 \) \( \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.\sqrt 2 .\sqrt {8\left( {{m^2} - m - 2} \right)}  = 8\sqrt 2 \) \( \Leftrightarrow \sqrt {8\left( {{m^2} - m - 2} \right)}  = 16 \Leftrightarrow {m^2} - m - 34 = 0\) \( \Leftrightarrow m = \dfrac{{1 \pm \sqrt {37} }}{2}\left( {TM} \right)\)