Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đường thẳng $d:y =  - \,mx$ cắt đồ thị của hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} - m + 2$ $\left( C \right)$ tại ba điểm phân biệt $A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C$ sao cho $AB = BC$.

Phương trình hoành độ giao điểm: ${x^3} - 3{x^2} - m + 2 =  - \,mx$

$ \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + 2 + m\left( {x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2x + m - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} - 2x + m - 2 = 0\,\,\,\,\,\left(  *  \right)\end{array} \right..$

Để $d$ cắt $\left( C \right)$ tại ba điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt khác \(1\)

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\{1^2} - 2.1 + m - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - \left( {m - 2} \right) > 0\\m \ne 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 3.$

Do \(B\) là trung điểm của \(AC\) nên \(A,B,C\) cùng thuộc đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) và \(A,C\) đối xứng nhau qua \(B\)

Điều này có nghĩa là \(B\) chính là điểm uốn của \(\left( C \right)\). Bài toán trở thành tìm \(m\) để \(d\) đi qua điểm uốn của \(\left( C \right)\).

Ta xét $y = {x^3} - 3{x^2} - m + 2$ có \(y' = 3{x^2} - 6x;y'' = 6x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 1\) suy ra \(B\left( {1; - m} \right)\)

Dễ thấy \(B \in d\) hay \(d\) luôn đi qua \(B\) với mọi \(m\).

Kết hợp điều kiện để phương trình có ba nghiệm phân biệt ta được \(m < 3\).

Vậy với \(m < 3\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.