Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đường thẳng $d:y =  - \,mx$ cắt đồ thị của hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} - m + 2$ $\left( C \right)$ tại ba điểm phân biệt $A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C$ sao cho $AB = BC$.

Phương trình hoành độ giao điểm: ${x^3} - 3{x^2} - m + 2 =  - \,mx$

$\Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + 2 + m\left( {x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2x + m - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} - 2x + m - 2 = 0\,\,\,\,\,\left(  *  \right)\end{array} \right..$

Để $d$ cắt $\left( C \right)$ tại ba điểm phân biệt $\Leftrightarrow \left( * \right)$ có hai nghiệm phân biệt khác $1$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\{1^2} - 2.1 + m - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - \left( {m - 2} \right) > 0\\m \ne 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 3.$

Do $B$ là trung điểm của $AC$ nên $A,B,C$ cùng thuộc đồ thị hàm số $\left( C \right)$ và $A,C$ đối xứng nhau qua $B$

Điều này có nghĩa là $B$ chính là điểm uốn của $\left( C \right)$. Bài toán trở thành tìm $m$ để $d$ đi qua điểm uốn của $\left( C \right)$.

Ta xét $y = {x^3} - 3{x^2} - m + 2$ có $y' = 3{x^2} - 6x;y'' = 6x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 1$ suy ra $B\left( {1; - m} \right)$

Dễ thấy $B \in d$ hay $d$ luôn đi qua $B$ với mọi $m$.

Kết hợp điều kiện để phương trình có ba nghiệm phân biệt ta được $m < 3$.

Vậy với $m < 3$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.