Cho hàm số \(y={{x}^{3}}-2\left( m+1 \right){{x}^{2}}+\left( 5m+1 \right)x-2m-2\) có đồ thị là \(\left( {{C}_{m}} \right)\), với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị của m nguyên trong đoạn \(\left[ -10;100 \right]\) để \(\left( {{C}_{m}} \right)\) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt \(A\left( 2;0 \right),B,C\) sao cho trong hai điểm \(B,C\) có một điểm nằm trong và một điểm nằm ngoài đường tròn có phương trình \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1\) ?

Đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}-2\left( m+1 \right){{x}^{2}}+\left( 5m+1 \right)x-2m-2\) luôn đi qua điểm \(A\left( 2;0 \right)\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm

\(\begin{array}{l}
\,\,\,\,{x^3} - 2\left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {5m + 1} \right)x - 2m - 2 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} - 2mx + m + 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
{x^2} - 2mx + m + 1 = 0\,\,\left( * \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)

Để phương trinh có 3 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow pt\,\left( * \right)\) có 2 nghiệm phân biệt khác 2 

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta ' = {m^2} - m - 1 > 0\\
{2^2} - 2m.2 + m + 1 \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \in \left( { - \infty ;\dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right) \cup \left( {\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}; + \infty } \right)\\
m \ne \dfrac{5}{3}
\end{array} \right.\)

Giả sử \({{x}_{B}};{{x}_{C}}\,\,\left( {{x}_{B}}<{{x}_{C}} \right)\) là 2 nghiệm phân biệt của phương trình (*).

Để hai điểm B, C một điểm nằm trong một điểm nằm ngoài đường tròn \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1\)

TH1: \({x_B} < - 1 < {x_C} < 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
af\left( { - 1} \right) < 0\\
af\left( 1 \right) > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3m + 2 < 0\\
- m + 2 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < \dfrac{{ - 2}}{3}\\
m < 2
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow m < \dfrac{{ - 2}}{3}\)

TH2: \( - 1 < {x_B} < 1 < {x_C} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
af\left( { - 1} \right) > 0\\
af\left( 1 \right) < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3m + 2 > 0\\
- m + 2 < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > - \dfrac{2}{3}\\
m > 2
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow m > 2\)

Kết hợp điều kiện ta có: \(m\in \left( -\infty ;-\dfrac{2}{3} \right)\cup \left( 2;+\infty  \right)\).

Lại có \(m\in \left[ -10;100 \right]\) \(\Rightarrow m\in \left[ -10;-\dfrac{2}{3} \right)\cup \left( 2;100 \right]\)

\(\Rightarrow \) có \(108\) giá trị m nguyên thỏa mãn yêu cầu bái toán.