Câu hỏi:
2 năm trước
Có tất cả bao nhiêu số nguyên \(m\) thỏa mãn đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 2020x + m\) và trục hoành có duy nhất một điểm chung?
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 2020x + m\) và trục hoành có duy nhất 1 điểm chung
\( \Leftrightarrow \) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số \({x^3} + 2020x + m = 0\) \( \Leftrightarrow {x^3} + 2020x = - m\) có nghiệm duy nhất
\( \Leftrightarrow \) Đường thẳng \(y = - m\) và đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 2020x\) có duy nhất 1 điểm chung.
Xét hàm số \(y = {x^3} + 2020x\) ta có: \(y' = 3{x^2} + 2020 > 0\,\,\forall x\)
\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = {x^3} + 2020x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
Ta có BBT:
\( \Rightarrow \) Với mọi giá trị của \(m\) thì đường thẳng \(y = - m\) luôn cắt đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 2020x\) tại duy nhất 1 điểm.
Vậy có vô số giá trị của \(m\) thỏa mãn bài toán.
Hướng dẫn giải:
Đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 2020x + m\) và trục hoành có điểm chung \( \Leftrightarrow \) phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số \({x^3} + 2020x + m = 0\) \( \Leftrightarrow {x^3} + 2020x = - m\) có nghiệm.
\( \Leftrightarrow \) Đường thẳng \(y = - m\) và đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 2020x\) có điểm chung.
Lập BBT rồi xác định số giá trị của \(m\) thỏa mãn bài toán.
Câu hỏi khác
- Bài tập sự đồng biến, nghịch biến của hàm số toán 12 có lời giải
- Bài tập cực trị của hàm số toán 12 có lời giải
- Bài tập giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số toán 12 có lời giải
- Bài tập cực trị có tham số đối với các hàm số cơ bản môn Toán lớp 12
- Bài tập đồ thị của hàm số và phép tịnh tiến hệ tọa độ toán 12 có lời giải
