Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định và có đạo hàm trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\). Biết rằng \(\left( {2x + 1} \right)f'\left( x \right) = 2f\left( x \right) + 12{x^3} + 20{x^2} + 11x + 2,\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\) và \(f\left( 2 \right) = 3\). Tính \(\int\limits_3^6 {f\left( x \right)dx} \).

Ta có \(\left( {2x + 1} \right)f'\left( x \right) = 2f\left( x \right) + 12{x^3} + 20{x^2} + 11x + 2\)

\( \Leftrightarrow \left( {2x + 1} \right)f'\left( x \right) - 2f\left( x \right) = 12{x^3} + 20{x^2} + 11x + 2\).

Chia 2 vế của phương trình trên cho \({\left( {2x + 1} \right)^2}\), ta được:

\(\dfrac{{\left( {2x + 1} \right)f'\left( x \right) - 2f\left( x \right)}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{\left( {3x + 2} \right){{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{2x + 1}}} \right)^\prime } = 3x + 2\).

Lấy nguyên hàm hai vế, ta được: \(\int {{{\left( {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{2x + 1}}} \right)}^\prime }dx}  = \int {\left( {3x + 2} \right)dx} \)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{f\left( x \right)}}{{2x + 1}} = \dfrac{{3{x^2}}}{2} + 2x + C\)

\( \Leftrightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{3{x^2}\left( {2x + 1} \right)}}{2} + 2x\left( {2x + 1} \right) + C.\left( {2x + 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow f\left( x \right) = 3{x^3} + \dfrac{{11}}{2}{x^2} + 2x + C.\left( {2x + 1} \right)\).

Theo đề, ta có \(f\left( 2 \right) = 3\)

\( \Leftrightarrow {3.2^3} + \dfrac{{11}}{2}{.2^2} + 2.2 + C.\left( {2.2 + 1} \right) = 3\)

\( \Leftrightarrow 5C =  - 47\)

\( \Leftrightarrow C =  - \dfrac{{47}}{5}\).

\( \Leftrightarrow f\left( x \right) = 3{x^3} + \dfrac{{11}}{2}{x^2} - \dfrac{{84}}{5}x - \dfrac{{47}}{5}\).

Ta có \(\int\limits_3^6 {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_3^6 {\left( {3{x^3} + \dfrac{{11}}{2}{x^2} - \dfrac{{84}}{5}x - \dfrac{{47}}{5}} \right)dx}  = \dfrac{{4011}}{4}\).

Vậy ta chọn phương án A.