Cho \(I = \int\limits_{}^{} {\dfrac{{{e^{2x}}dx}}{{\sqrt {{e^x} - 1} }}} = a{t^3} + bt + C\) với $t = \sqrt {{e^x} - 1} $. Giá trị biểu thức \(A = {a^2} + {b^2}\) bằng:
Trả lời bởi giáo viên
Đặt $t = \sqrt {{e^x} - 1} \Rightarrow {t^2} = {e^x} - 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2tdt = {e^x}dx\\{e^x} = {t^2} + 1\end{array} \right.$
$ \Rightarrow I = \int\limits_{}^{} {\dfrac{{{e^x}.{e^x}dx}}{{\sqrt {{e^x} - 1} }}} = \int\limits_{}^{} {\dfrac{{\left( {{t^2} + 1} \right).2tdt}}{t}} $ $ = 2\int\limits_{}^{} {\left( {{t^2} + 1} \right)dt} = 2\left( {\dfrac{{{t^3}}}{3} + t} \right) + C$ $ \Rightarrow a = \dfrac{2}{3};b = 2 \Rightarrow {a^2} + {b^2} = \dfrac{{40}}{9}$
Hướng dẫn giải:
- Đặt $t = \sqrt {{e^x} - 1} $
- Tính \(dx\) theo \(dt\) và thay vào tìm nguyên hàm.