Biết $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm trên $\mathbb{R}$ của hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{{2017x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^{2018}}}}$ thỏa mãn $F\left( 1 \right) = 0.$ Tìm giá trị nhỏ nhất $m$ của $F\left( x \right).$

Ta có $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x}  = \int {\dfrac{{2017x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^{2018}}}}{\rm{d}}x}  = \dfrac{{2017}}{2}\int {\dfrac{{{\rm{d}}\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^{2018}}}}}  =  - \dfrac{1}{{2{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^{2017}}}} + C.$

Mà $F\left( 1 \right) = 0$$ \Rightarrow $$C - \dfrac{1}{{{2^{2018}}}} = 0 \Leftrightarrow C = \dfrac{1}{{{2^{2018}}}}.$

Khi đó $F\left( x \right) =  - \dfrac{1}{{2{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^{2017}}}} + \dfrac{1}{{{2^{2018}}}}.$

Mặt khác ${\left( {{x^2} + 1} \right)^{2017}} \ge 1 \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{{2{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^{2017}}}} \ge  - {\mkern 1mu} \dfrac{1}{2}$ suy ra $F\left( x \right) \ge  - {\mkern 1mu} \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^{2018}}}} \Rightarrow m = \dfrac{{1 - {2^{2017}}}}{{{2^{2018}}}}.$