Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết \(\cos 2x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right).{e^x}\), họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f'\left( x \right).{e^x}\) là:

Ta có: \(\cos 2x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right){e^x}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( x \right){e^x} = \left( {\cos 2x} \right)'\\ \Leftrightarrow f\left( x \right){e^x} =  - 2\sin 2x.\end{array}\)

Lại có: \(\int {f\left( x \right){e^x}dx}  = \cos 2x\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = {e^x}\end{array} \right.\) 

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \cos 2x = f\left( x \right){e^x} - \int {f'\left( x \right){e^x}dx} \\ \Leftrightarrow \cos 2x =  - 2\sin 2x - \int {f'\left( x \right){e^x}dx}  + C\\ \Leftrightarrow \int {f'\left( x \right){e^x}dx = }  - 2\sin 2x - \cos 2x + C.\end{array}\)