Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}_ + ^*\). Biết \(\sin 2x\) là một nguyên hàm của hàm số \(\dfrac{{f\left( x \right)}}{x}\), họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f'\left( x \right)\ln x\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) là:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Theo giả thiết ta có: \(\left( {\sin 2x} \right)' = \dfrac{{f\left( x \right)}}{x} \Rightarrow \dfrac{{f\left( x \right)}}{x} = 2\cos 2x \Rightarrow f\left( x \right) = 2x\cos 2x\).
Xét \(I = \int {f'\left( x \right)\ln xdx} \).
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = f'\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{x}dx\\v = f\left( x \right)\end{array} \right.\).
\(\begin{array}{l}I = f\left( x \right)\ln x - \int {\dfrac{{f\left( x \right)}}{x}dx} \\\,\,\,\, = 2x\cos 2x.\ln x - 2\int {\cos 2xdx} \\\,\,\,\, = 2x\cos 2x.\ln x - \sin 2x + C\end{array}\)
Hướng dẫn giải:
- \(\sin 2x\) là 1 nguyên hàm của hàm số \(\dfrac{{f\left( x \right)}}{x}\), từ đó tìm \(f\left( x \right)\).
- Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần: \(\int {udv} = uv - \int {vdu} \).
Câu hỏi khác
- Bài tập nguyên hàm toán 12 có lời giải
- Bài tập tích phân các hàm số cơ bản toán 12 có lời giải
- Bài tập tích phân có lời giải MÔN TOÁN Lớp 12
- Bài tập sử dụng phương pháp từng phần để tìm nguyên hàm có lời giải MÔN TOÁN Lớp 12
- Bài tập sử dụng phương pháp đổi biến để tìm nguyên hàm có lời giải MÔN TOÁN Lớp 12
