Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu \((S)\) : \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + \) \({(z - 3)^2} = 9\) tâm \(I\) và mặt phẳng \((P):2x + 2y - z + 24 = 0\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) trên \((P)\). Điểm \(M\) thuộc \((S)\) sao cho đoạn $M H$ có độ dài lớn nhất. Tìm tọa độ điểm \(M\).

Cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2} = 9\) và mặt phẳng \(\left( Q \right):x - y + z - 1 = 0\). Hai điểm \(M\) và \(N\) lần lượt di động trên mặt cầu \(\left( S \right)\) và mặt phẳng \(\left( Q \right)\). Xác định vector \(\overrightarrow {MN} \) khi \(MN\) đạt giá trị lớn nhất và vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right)\).

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\), với \(a,b,c\) đều là các số thực dương. Biết mặt cầu \(\left( S \right)\) cắt 3 mặt phẳng tọa độ \(\left( {Oxy} \right),\left( {Oxz} \right),\left( {Oyz} \right)\) theo các giao tuyến là các đường tròn có bán kính bằng \(\sqrt {13} \) và mặt cầu \(\left( S \right)\) đi qua \(M\left( {2;0;1} \right)\). Tính \(a + b + c\)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $I(1; - 2;3)$. Phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy là:   

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với $\left( S \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z - 2 = 0$ và song song với $\left( {\alpha {\rm{\;}}} \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 4x + 3y - 12z + 10 = 0$.

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y+4z-1=0\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x+y-z-m=0.\) Tìm tất cả m để \(\left( P \right)\) cắt \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính lớn nhất.

Trong không gian tọa độ Oxyz, mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-4y-20=0\) và mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):\,\,x+2y-2z+7=0\) cắt nhau theo một đường tròn có chu vi bằng:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x-4y-6z+m-3=0\). Tìm số thực m để \(\left( \beta  \right):\,\,2x-y+2z-8=0\) cắt \(\left( S \right)\) theo một đường tròn có chu vi bằng \(8\pi \).