Câu hỏi:
2 năm trước
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x-4y-6z+m-3=0\). Tìm số thực m để \(\left( \beta \right):\,\,2x-y+2z-8=0\) cắt \(\left( S \right)\) theo một đường tròn có chu vi bằng \(8\pi \).
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo đường tròn có bán kính \(r=\frac{8\pi }{2\pi }=4\).
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( -1;2;3 \right)\), bán kính \(R=\sqrt{17-m}\).
Ta có \(d\left( I;\left( \beta \right) \right)=\frac{\left| -2-2+6-8 \right|}{\sqrt{4+1+4}}=2=d\)
Áp dụng định lí Pytago ta có \({{R}^{2}}={{r}^{2}}+{{d}^{2}}={{2}^{2}}+{{4}^{2}}=20\Leftrightarrow 17-m=20\Leftrightarrow m=-3\).
Hướng dẫn giải:
Giả sử mặt phẳng cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính r.
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm I, bán kính R và \(d\left( I;\left( \beta \right) \right)=d\) ta có \({{R}^{2}}={{r}^{2}}+{{d}^{2}}\).
