Câu hỏi:
2 năm trước
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho mặt cầu $(S):{(x - 1)^2} + {(y + 1)^2} + {(z + 2)^2} = 4$ và 2 đường thẳng ${\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 1 - t\\z = t\end{array} \right.$ và ${\Delta _2}:\dfrac{{x - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z}{{ - 1}}$. Một phương trình mặt phẳng $(P)$ song song với ${\Delta _1},{\Delta _2}$ và tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ là:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
$(S)$ có tâm $I(1; - 1; - 2);R = 2$
Vì $(P)$ song song với ${\Delta _1},{\Delta _2}$ có vtcp tương ứng là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2; - 1;1} \right);\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 1;1; - 1} \right)\) ta có $\overrightarrow {{n_P}} = {\rm{[}}\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} {\rm{]}} = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&1\\1&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\{ - 1}&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\{ - 1}&1\end{array}} \right|} \right) = (0;1;1)$
Gọi $(P):y + z + d = 0$
$\begin{array}{l}d(I;P) = \dfrac{{\left| { - 1 - 2 + d} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{\left| {d - 3} \right|}}{{\sqrt 2 }}\\ \Rightarrow \dfrac{{\left| {d - 3} \right|}}{{\sqrt 2 }} = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d - 3 = 2\sqrt 2 \\d - 3 = - 2\sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d = 3 + 2\sqrt 2 \\d = 3 - 2\sqrt 2 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}y + z + 3 + 2\sqrt 2 = 0\\y + z + 3 - 2\sqrt 2 = 0\end{array} \right.\end{array}$
Hướng dẫn giải:
- $(P)$ song song với ${\Delta _1},{\Delta _2}$ suy ra ta có $\overrightarrow {{n_P}} = {\rm{[}}\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} {\rm{]}}$
- $(S)$ tiếp xúc với $ (P) \Leftrightarrow R = d(I;P)$
