Câu hỏi:
2 năm trước
Trong không gian Oxyz cho I(2;1;1) và mặt phẳng (P): 2x + y + 2z – 1 = 0. Mặt cầu (S) có tâm I cắt (P) theo một đường tròn có bán kính r = 4. Phương trình của mặt cầu (S) là:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Ta có: \(d = d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2.2 + 1 + 2.1 - 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \dfrac{6}{3} = 2\).
Áp dụng định lí Pytago ta có: \({R^2} = {d^2} + {r^2} = {2^2} + {4^2} = 20\) \( \Rightarrow R = 2\sqrt 5 \).
Vậy phương trình mặt cầu là: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 20\).
Hướng dẫn giải:
- Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (P), sử dụng công thức tính khoảng cách từ điểm \(I\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\) là: \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).
- Sử dụng định lí Pytago tính bán kính R của mặt cầu: \({R^2} = {r^2} + {d^2}\). Với r là bán kính đường tròn giao tuyến, d là khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P).
- Phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) bán kính R là: \({\left( {x - {x_0}} \right)^2} + {\left( {y - {y_0}} \right)^2} + {\left( {z - {z_0}} \right)^2} = {R^2}\).
