Câu hỏi:
2 năm trước
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( a;0;0 \right),\,\,B\left( 0;b;0 \right),\,\,C\left( 0;0;c \right)\) với \(a,b,c>0\). Biết rằng \(\left( ABC \right)\) đi qua điểm \(M\left( \frac{1}{7};\frac{2}{7};\frac{3}{7} \right)\) và tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=\frac{72}{7}\) . Tính \(\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}\)
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
\(\left( ABC \right):\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\) \(\begin{align} M\left( \frac{1}{7};\frac{2}{7};\frac{3}{7} \right)\in \left( ABC \right)\Rightarrow \frac{1}{7a}+\frac{2}{7b}+\frac{3}{7c}=1\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=7 \\ \end{align}\)
\(\left( ABC \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( 1;2;3 \right)\) và bán kính \(R=\sqrt{\frac{72}{7}}\)
\(\begin{align} \Rightarrow d\left( I;\left( ABC \right) \right)=R\Leftrightarrow \frac{\left| \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}-1 \right|}{\sqrt{\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}}}=\sqrt{\frac{72}{7}} \\ \Leftrightarrow \frac{6}{\sqrt{\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}}}=\sqrt{\frac{72}{7}}\Rightarrow \sqrt{\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}}=\frac{\sqrt{14}}{2} \\ \end{align}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}=\frac{7}{2}\)
Hướng dẫn giải:
+) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) ở dạng đoạn chắn, thay tọa độ điểm M vào pt mặt phẳng \(\left( ABC \right)\).
+) \(\left( ABC \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm I bán kính R \(\Leftrightarrow d\left( I;\left( ABC \right) \right)=R\)
