Xét các số phức \(z=a+bi,\,\,\left( a;b\in R \right)\) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện \(\left| z \right|=\left| \overline{z}+4-3i \right|\) và \(\left| z+1-i \right|+\left| z-2+3i \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị \(P=a+2b\) là:

Gọi \(z=x+yi\) ta có:
\(\begin{align} & \left| x+yi \right|=\left| x-yi+4-3i \right| \\ & \Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}} \\ & \Leftrightarrow 8x+6y=-25 \\ \end{align}\)
Gọi điểm \(M\left( x;y \right)\) là điểm biểu diễn cho số phức z và \(A\left( -1;1 \right);\,\,B\left( 2;-3 \right)\) ta có:
\(\left| z+1-i \right|+\left| z-2+3i \right|=MA+MB\) nhỏ nhất.
Ta có : \(MA+MB\ge 2\sqrt{MA.MB}\), dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow MA=MB\Rightarrow \) M thuộc trung trực của AB.
Gọi \(I\) là trung điểm của AB ta có \(I\left( \dfrac{1}{2};-1 \right)\) và \(\overrightarrow{AB}=\left( 3;-4 \right)\)
Phương trình đường trung trực của AB là \(3\left( x-\dfrac{1}{2} \right)-4\left( y+1 \right)=0\Leftrightarrow 3x-4y-\dfrac{11}{2}=0\)
Để \({{\left( MA+MB \right)}_{\min }}\Leftrightarrow \) Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}
8x + 6y = - 25\\
3x - 4y = \dfrac{{11}}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = - \dfrac{{67}}{{50}}\\
y = - \dfrac{{119}}{{50}}
\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow z = - \dfrac{{67}}{{50}} - \dfrac{{119}}{{50}}i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = - \dfrac{{67}}{{50}}\\
b = - \dfrac{{119}}{{50}}
\end{array} \right. \Rightarrow P = a + 2b = - \dfrac{{61}}{{10}}\)