Cho số phức z thỏa mãn $\left| z-2+3i \right|+\left| z+2+i \right|=4\sqrt{5}$. Tính GTLN của $P=\left| z-4+4i \right|$

Cho số phức $z=x+yi,\,\,\left( x,y\in R \right)$, $S(x;y)$là điểm biểu diễn của z trên hệ trục tọa độ Oxy.

$\left| z-2+3i \right|+\left| z+2+i \right|=4\sqrt{5}\Leftrightarrow \sqrt{{{(x-2)}^{2}}+{{(y+3)}^{2}}}+\sqrt{{{(x+2)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}}=4\sqrt{5}\,$(1)

Lấy các điểm $A(2;-3),\,\,B(-2;-1)$. Phương trình (1) $\Leftrightarrow SA+SB=4\sqrt{5}$

$\Rightarrow$ Tập hợp các điểm S là đường elip (E) có tiêu điểm $A(2;-3),\,\,B(-2;-1)$ và có độ dài trục lớn là $2a=4\sqrt{5}\Rightarrow a=2\sqrt{5}$.

Lấy $M(4;-4)$. Dễ dàng kiểm tra được $\left\{ \begin{align}  & \overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{MA} \\ & MA+MB=4\sqrt{5}=2a \\\end{align} \right.$

Suy ra, M là một đỉnh và nằm trên trục lớn của elip (E).

Gọi I là trung điểm AB $\Rightarrow I\left( 0;-2 \right)$, N là điểm đối xứng của M qua I. Khi đó, với mọi điểm $S\in \left( E \right)$: $SM\le MN=2a=4\sqrt{5}$

$S{{M}_{\max }}=4\sqrt{5}\,\,$khi và chỉ khi S trùng N $\Leftrightarrow {{P}_{\max }}=4\sqrt{5}$ khi và chỉ khi $S\equiv N(-4;0)\Leftrightarrow z=-4$