Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| z-3-4i \right|=\sqrt{5}.\) Gọi \(M,\,\,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất biểu thức \(P={{\left| z+2 \right|}^{2}}-{{\left| z-i \right|}^{2}}.\)

Đặt \(z=x+yi\,\,\,\,\left( x,y\in \mathbb{R} \right)\) suy ra tập hợp các điểm \(M\left( z \right)=\left( x;y \right)\) là đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( 3;4 \right)\) và bán kính \(R=\sqrt{5}.\) Ta có \(P={{\left| z+2 \right|}^{2}}-{{\left| z-i \right|}^{2}}={{\left| x+2+yi \right|}^{2}}-{{\left| x+\left( y-1 \right)i \right|}^{2}}={{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}-{{x}^{2}}-{{\left( y-1 \right)}^{2}}\)
\(={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x+4-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}+2y-1=4x+2y+3\,\,\xrightarrow{{}}\,\,\left( \Delta \right):4x+2y+3-P=0.\)
Ta cần tìm \(P\) sao cho đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) và đường tròn \(\left( C \right)\) có điểm chung \(\Leftrightarrow \)\(d\left( I;\left( \Delta \right) \right)\le R.\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{\left| 4.3+2.4+3-P \right|}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{2}^{2}}}}\le \sqrt{5}\Leftrightarrow \left| 23-P \right|\le 10\Leftrightarrow -\,10\le 23-P\le 10\Leftrightarrow 13\le P\le 33.\)
Do đó, \(\left\{ \begin{align} \max P=33 \\ \min P=13 \\ \end{align} \right.\Rightarrow \,\,w=M+mi=33+13i.\) Vậy \(\left| w \right|=\sqrt{1258}.\)