Cho số phức thỏa mãn \(\left| z-2i \right|\le \left| z-4i \right|\) và \(\left| z-3-3i \right|=1.\) Giá trị lớn nhất của \(P=\left| z-2 \right|\) là

Lời giải chi tiết.Giả sử số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán có dạng \(z = a + bi,\,\left( {a,b \in } \right).\)  Khi đó ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}\left| {z - 2i} \right| = \left| {\left( {a + bi} \right) - 2i} \right| = \sqrt {{a^2} + {{\left( {b - 2} \right)}^2}} \\\left| {z - 4i} \right| = \left| {\left( {a + bi} \right) - 4i} \right| = \sqrt {{a^2} + {{\left( {b - 4} \right)}^2}} \\\left| {z - 3 - 3i} \right| = \left| {\left( {a + bi} \right) - 3 - 3i} \right| = \sqrt {{{\left( {a - 3} \right)}^2} + {{\left( {b - 3} \right)}^2}} \\\left| {z - 2} \right| = \left| {\left( {a + bi} \right) - 2} \right| = \sqrt {{{\left( {a - 2} \right)}^2} + {b^2}} \end{array} \right.\)

Từ giả thiết ta suy ra

\(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{a^2} + {{\left( {b - 2} \right)}^2}} \le \sqrt {{a^2} + {{\left( {b - 4} \right)}^2}} \\{\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {b - 2} \right)^2} \le {\left( {b - 4} \right)^2}\\{\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}b - 2 \le b - 4\,\,\left( {VN} \right)\\b - 2 \le - b + 4\end{array} \right.\\{\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b \le 3\\{\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = 1\end{array} \right..\)

Từ\({\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = 1 \Rightarrow {\left( {a - 3} \right)^2} \le 1 \Rightarrow 2 \le a \le 4 \Rightarrow 0 \le a - 2 \le 2.\)

Do đó \(P = \left| {z - 2} \right| = \sqrt {{{\left( {a - 2} \right)}^2} + {b^2}}  \le \sqrt {{2^2} + {3^2}}  = \sqrt {13} .\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 2} \right)^2} = {2^2}\\b = 3\\{\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 3\end{array} \right..\)