Cho hai số phức \({{z}_{1}},\,\,{{z}_{2}}\) thỏa mãn \(\left| {{z}_{1}}-3i+5 \right|=2\) và \(\left| i{{z}_{2}}-1+2i \right|=4.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(T=\left| 2i{{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|.\)

Ta có \(\left| {{z}_{1}}-3i+5 \right|=2\Leftrightarrow \left| 2i\left( {{z}_{1}}-3i+5 \right) \right|=2.\left| 2i \right|\Leftrightarrow \left| 2i{{z}_{1}}+6+10i \right|=4.\)Và \(\left| i{{z}_{2}}-1+2i \right|=4\Leftrightarrow \left| {{z}_{2}}-\frac{1-2i}{i} \right|=4\Leftrightarrow \left| {{z}_{2}}+2+i \right|=4\Leftrightarrow \left| -\,3{{z}_{2}}-6-3i \right|=12.\)Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}
u = 2i{z_1}\\
v = - \,3{z_2}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left| {u + 6 + 10i} \right| = 4\\
\left| {v - 6 - 3i} \right| = 12
\end{array} \right.\) và \(T=\left| 2i{{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|=\left| 2i{{z}_{1}}-\left( -\,3{{z}_{2}} \right) \right|=\left| u-v \right|.\)Tập hợp điểm \(M\) biểu diễn số phức \(u\) là đường tròn \({{\left( x+6 \right)}^{2}}+{{\left( y+10 \right)}^{2}}=16\) tâm \({{I}_{1}}\left( -\,6;-\,10 \right),\,\,{{R}_{1}}=4.\)Tập hợp điểm \(N\) biểu diễn số phức \(v\) là đường tròn \({{\left( x-6 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=144\) tâm \({{I}_{2}}\left( 6;3 \right),\,\,{{R}_{2}}=12.\)Khi đó \(T=M{{N}_{\max }}\,\Leftrightarrow \,\,MN={{I}_{1}}{{I}_{2}}+{{R}_{1}}+{{R}_{2}}=\sqrt{{{12}^{2}}+{{13}^{2}}}+4+12=\sqrt{313}+16.\)