Trong các số phức z thỏa mãn \(\left| {{z}^{2}}+1 \right|=2\left| z \right|\), gọi \(z_1\) và \(z_2\) lần lượt là các số phức có môđun lớn nhất và nhỏ nhất. Khi đó môđun lớn nhất của số phức \(w={{z}_{1}}+{{z}_{2}}\) là:  

Ta có 

\(\begin{array}{l}
\left| {{z^2} + 1} \right| = 2\left| z \right| \Leftrightarrow {\left| {{z^2} + 1} \right|^2} = 4{\left| z \right|^2} \Leftrightarrow \left( {{z^2} + 1} \right)\left( {\overline {{z^2} + 1} } \right) = 4z\overline z \\
\Leftrightarrow \left( {{z^2} + 1} \right)\left( {{{\overline z }^2} + 1} \right) = 4z\overline z \Leftrightarrow {\left( {z\overline z } \right)^2} + {z^2} + {\overline z ^2} + 1 - 4z\overline z = 0\\
\Leftrightarrow {\left( {z + \overline z } \right)^2} + {\left( {z\overline z } \right)^2} - 6z\overline z + 1 = 0\\
\Leftrightarrow {\left( {z + \overline z } \right)^2} + {\left| z \right|^4} - 6{\left| z \right|^2} + 1 = 0\\
\Leftrightarrow {\left| z \right|^4} - 6{\left| z \right|^2} + 1 = - {\left( {z + \overline z } \right)^2} \le 0\\
\Leftrightarrow 3 - 2\sqrt 2 \le {\left| z \right|^2} \le 3 + 2\sqrt 2 \\
\Leftrightarrow \sqrt 2 - 1 \le \left| z \right| \le \sqrt 2 + 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left| {{z_1}} \right| = \sqrt 2 - 1\\
\left| {{z_2}} \right| = \sqrt 2 + 1
\end{array} \right.
\end{array}\)

Dấu = xảy ra 

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left| {{z_1}} \right| = \sqrt 2 - 1\\
\left| {{z_2}} \right| = \sqrt 2 + 1\\
z + \overline z = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
{z_1} = \left( {\sqrt 2 - 1} \right)i\\
{z_1} = \left( {1 - \sqrt 2 } \right)i
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
{z_2} = \left( {\sqrt 2 + 1} \right)i\\
{z_2} = \left( { - \sqrt 2 - 1} \right)i
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left| w \right| = \left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 2\sqrt 2 \\
\left| w \right| = \left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 2
\end{array} \right.\)