Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x - y + 2z + 1 = 0\) và đường thẳng \(\Delta :\dfrac{x}{1} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z - 1}}{{ - 1}}\). Góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) bằng
Ta có $\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} = \left( {1;\,\, - 1;\,\,2} \right)$, \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {1;\,\,2;\,\, - 1} \right)\).
Suy ra \(\sin \beta = \dfrac{{\left| {1 - 2 - 2} \right|}}{{\sqrt 6 \sqrt 6 }} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \beta = 30^\circ \)
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng $\left( P \right):2x + y = 0$. Trong bốn mặt phẳng sau mặt phẳng nào vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\)?
Ta có: \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;1;0} \right)\)
Đáp án A: \(\overrightarrow {{n_{{P_1}}}} = \left( {1; - 2;1} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_{{P_1}}}} = 0\) hay \(\left( P \right) \bot \left( {{P_1}} \right)\)
Dễ dàng kiểm tra được các đáp án B,C,D đều không thỏa.
Một véc tơ chỉ phương của đường thẳng \(\dfrac{{x - 1}}{2} = y = \dfrac{{z + 1}}{{ - 1}}\) là:
Đường thẳng \(\dfrac{{x - 1}}{2} = y = \dfrac{{z + 1}}{{ - 1}}\) nhận một véc tơ chỉ phương là \(\left( {2;1; - 1} \right)\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( {1;1;2} \right)\), mặt phẳng \(\left( P \right)\) qua \(M\) cắt các trục tọa độ \(Ox\), \(Oy\), \(Oz\) lần lượt tại \(A\), \(B\), \(C\).( \(A\), \(B\), \(C\) có tọa độ dương ). Gọi \({V_{OABC}}\) là thể tích tứ diện \(OABC\). Khi \(\left( P \right)\) thay đổi tìm giá trị nhỏ nhất của \({V_{OABC}}\).
Giả sử \(A(a;0;0),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right){\rm{ }}\left( {a,b,c > 0} \right)\)
Mặt phẳng \((P):\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1\)
Do \(M \in (P)\) nên \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{2}{c} = 1 \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{2}{{abc}}}} \Rightarrow abc \ge 54\)
\({V_{OABC}} = \dfrac{1}{6}abc \ge 9\). Vậy \(\min {V_{OABC}} = 9\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ\(Oxyz,\)cho điểm\(A(2;3;0),\;\)\(B(0; - \sqrt 2 ;0),\;\)\(M\left( {\dfrac{2}{5}; - \sqrt 2 ; - \dfrac{2}{5}} \right)\)và đường thẳng\(d:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 0\\z = 2 - t\end{array} \right..\)Điểm \(C\) thuộc \(d\) sao cho chu vi tam giác\(ABC\) là nhỏ nhất thì độ dài \(CM\) bằng
Do \(AB\) có độ dài không đổi nên chu vi tam giác \(ABC\) nhỏ nhất khi \(AC + CB\) nhỏ nhất.
Vì\(C \in d \Rightarrow C\left( {t;0;2 - t} \right) \Rightarrow AC = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 t - 2\sqrt 2 } \right)}^2} + 9} ,\;BC = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 t - \sqrt 2 } \right)}^2} + 4} \)
\( \Rightarrow AC + CB = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 t - 2\sqrt 2 } \right)}^2} + 9} + \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 t - \sqrt 2 } \right)}^2} + 4} .\)
Đặt\(\overrightarrow u = \left( {\sqrt 2 t - 2\sqrt 2 ;3} \right),\;\overrightarrow v = \left( { - \sqrt 2 t + \sqrt 2 ;2} \right)\)áp dụng bất đẳng thức $\left| {\overrightarrow u } \right| + \left| {\overrightarrow v } \right| \ge \left| {\overrightarrow u + \overrightarrow v } \right|$\( \Rightarrow \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 t - 2\sqrt 2 } \right)}^2} + 9} + \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 t - \sqrt 2 } \right)}^2} + 4} \ge \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 - 2\sqrt 2 } \right)}^2} + 25} .\)Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{{\sqrt 2 t - 2\sqrt 2 }}{{ - \sqrt 2 t + \sqrt 2 }} = \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow t = \dfrac{7}{5} \Rightarrow C\left( {\dfrac{7}{5};0;\dfrac{3}{5}} \right) \Rightarrow CM = \sqrt {{{\left( {\dfrac{2}{5} - \dfrac{7}{5}} \right)}^2} + 2 + {{\left( { - \dfrac{2}{5} - \dfrac{3}{5}} \right)}^2}} = 2.\)
