Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α):x−y+2z+1=0 và đường thẳng Δ:x1=y2=z−1−1. Góc giữa đường thẳng Δ và mặt phẳng (α) bằng
Ta có →n(α)=(1;−1;2), →uΔ=(1;2;−1).
Suy ra sinβ=|1−2−2|√6√6=12⇒β=30∘
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x+y=0. Trong bốn mặt phẳng sau mặt phẳng nào vuông góc với mặt phẳng (P)?
Ta có: →nP=(2;1;0)
Đáp án A: →nP1=(1;−2;1) ⇒→nP.→nP1=0 hay (P)⊥(P1)
Dễ dàng kiểm tra được các đáp án B,C,D đều không thỏa.
Một véc tơ chỉ phương của đường thẳng x−12=y=z+1−1 là:
Đường thẳng x−12=y=z+1−1 nhận một véc tơ chỉ phương là (2;1;−1).
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;1;2), mặt phẳng (P) qua M cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C.( A, B, C có tọa độ dương ). Gọi VOABC là thể tích tứ diện OABC. Khi (P) thay đổi tìm giá trị nhỏ nhất của VOABC.
Giả sử A(a;0;0),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right){\rm{ }}\left( {a,b,c > 0} \right)
Mặt phẳng (P):\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1
Do M \in (P) nên \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{2}{c} = 1 \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{2}{{abc}}}} \Rightarrow abc \ge 54
{V_{OABC}} = \dfrac{1}{6}abc \ge 9. Vậy \min {V_{OABC}} = 9.
Trong không gian với hệ trục tọa độOxyz,cho điểmA(2;3;0),\;B(0; - \sqrt 2 ;0),\;M\left( {\dfrac{2}{5}; - \sqrt 2 ; - \dfrac{2}{5}} \right)và đường thẳngd:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 0\\z = 2 - t\end{array} \right..Điểm C thuộc d sao cho chu vi tam giácABC là nhỏ nhất thì độ dài CM bằng
Do AB có độ dài không đổi nên chu vi tam giác ABC nhỏ nhất khi AC + CB nhỏ nhất.
VìC \in d \Rightarrow C\left( {t;0;2 - t} \right) \Rightarrow AC = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 t - 2\sqrt 2 } \right)}^2} + 9} ,\;BC = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 t - \sqrt 2 } \right)}^2} + 4}
\Rightarrow AC + CB = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 t - 2\sqrt 2 } \right)}^2} + 9} + \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 t - \sqrt 2 } \right)}^2} + 4} .
Đặt\overrightarrow u = \left( {\sqrt 2 t - 2\sqrt 2 ;3} \right),\;\overrightarrow v = \left( { - \sqrt 2 t + \sqrt 2 ;2} \right)áp dụng bất đẳng thức \left| {\overrightarrow u } \right| + \left| {\overrightarrow v } \right| \ge \left| {\overrightarrow u + \overrightarrow v } \right| \Rightarrow \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 t - 2\sqrt 2 } \right)}^2} + 9} + \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 t - \sqrt 2 } \right)}^2} + 4} \ge \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 - 2\sqrt 2 } \right)}^2} + 25} .Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \dfrac{{\sqrt 2 t - 2\sqrt 2 }}{{ - \sqrt 2 t + \sqrt 2 }} = \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow t = \dfrac{7}{5} \Rightarrow C\left( {\dfrac{7}{5};0;\dfrac{3}{5}} \right) \Rightarrow CM = \sqrt {{{\left( {\dfrac{2}{5} - \dfrac{7}{5}} \right)}^2} + 2 + {{\left( { - \dfrac{2}{5} - \dfrac{3}{5}} \right)}^2}} = 2.
