Trong không gian với hệ trục tọa độ\(Oxyz,\)cho điểm\(A(2;3;0),\;\)\(B(0; - \sqrt 2 ;0),\;\)\(M\left( {\dfrac{2}{5}; - \sqrt 2 ; - \dfrac{2}{5}} \right)\)và đường thẳng\(d:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 0\\z = 2 - t\end{array} \right..\)Điểm \(C\) thuộc \(d\) sao cho chu vi tam giác\(ABC\) là nhỏ nhất thì độ dài \(CM\) bằng

Do \(AB\) có độ dài không đổi nên chu vi tam giác \(ABC\) nhỏ nhất khi \(AC + CB\) nhỏ nhất.

Vì\(C \in d \Rightarrow C\left( {t;0;2 - t} \right) \Rightarrow AC = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 t - 2\sqrt 2 } \right)}^2} + 9} ,\;BC = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 t - \sqrt 2 } \right)}^2} + 4} \)

\( \Rightarrow AC + CB = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 t - 2\sqrt 2 } \right)}^2} + 9}  + \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 t - \sqrt 2 } \right)}^2} + 4} .\)

Đặt\(\overrightarrow u  = \left( {\sqrt 2 t - 2\sqrt 2 ;3} \right),\;\overrightarrow v  = \left( { - \sqrt 2 t + \sqrt 2 ;2} \right)\)áp dụng bất đẳng thức $\left| {\overrightarrow u } \right| + \left| {\overrightarrow v } \right| \ge \left| {\overrightarrow u  + \overrightarrow v } \right|$\( \Rightarrow \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 t - 2\sqrt 2 } \right)}^2} + 9}  + \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 t - \sqrt 2 } \right)}^2} + 4}  \ge \sqrt {{{\left( {\sqrt 2  - 2\sqrt 2 } \right)}^2} + 25} .\)Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{{\sqrt 2 t - 2\sqrt 2 }}{{ - \sqrt 2 t + \sqrt 2 }} = \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow t = \dfrac{7}{5} \Rightarrow C\left( {\dfrac{7}{5};0;\dfrac{3}{5}} \right) \Rightarrow CM = \sqrt {{{\left( {\dfrac{2}{5} - \dfrac{7}{5}} \right)}^2} + 2 + {{\left( { - \dfrac{2}{5} - \dfrac{3}{5}} \right)}^2}}  = 2.\)