Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), gọi \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng chứa đường thẳng \(\Delta \) có phương trình \(\dfrac{{x - 2}}{1} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{z}{2}\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( \beta  \right):x + y - 2z - 1 = 0\). Giao tuyến của \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\) đi qua điểm nào trong các điểm sau

Ta có véctơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) là \(\overrightarrow u \left( {1;1;2} \right)\)

Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \beta  \right):x + y - 2z - 1 = 0\) là \(\overrightarrow n \left( {1;1; - 2} \right)\).

Vì \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng chứa đường thẳng \(\Delta \) có phương trình \(\dfrac{{x - 2}}{1} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{z}{2}\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( \beta  \right):x + y - 2z - 1 = 0\) nên \(\left( \alpha  \right)\) có một véctơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right] = \left( { - 4;4;0} \right) = 4\left( {1; - 1;0} \right) = 4.\overrightarrow a \)

Gọi \(d = \left( \alpha  \right) \cap \left( \beta  \right)\), suy ra \(d\) có véctơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow n } \right] = \left( {2;2;2} \right) = 2\left( {1;1;1} \right)\).

Giao điểm của đường thẳng \(\Delta \) có phương trình \(\dfrac{{x - 2}}{1} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{z}{2}\) và mặt phẳng \(\left( \beta  \right):x + y - 2z - 1 = 0\)là \(I\left( {3;2;2} \right)\).

Suy ra phương trình đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + t}\\{y = 2 + t}\\{z = 2 + t}\end{array}} \right.\).

Vậy \(A\left( {2;1;1} \right)\) thuộc đường thẳng \(d\).