Kí hiệu \({z_1},{\rm{ }}{z_2},\,{\rm{ }}{z_3}\) và \({z_4}\) là bốn nghiệm phức của phương trình $6{z^4} + 19{z^2} + 15 = 0.$ Tính tổng \(T = \dfrac{1}{{{z_1}}} + \dfrac{1}{{{z_2}}} + \dfrac{1}{{{z_3}}} + \dfrac{1}{{{z_4}}}.\)
Phương trình $6{z^4} + 19{z^2} + 15 = 0$ $ \Leftrightarrow \left( {2{z^2} + 3} \right)\left( {3{z^2} + 5} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2{z^2} = - \,3\\3{z^2} = - \,5\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z^2} = - \dfrac{3}{2}\\{z^2} = - \dfrac{5}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z^2} = \dfrac{{3{i^2}}}{2}\\{z^2} = \dfrac{{5{i^2}}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \pm \,\dfrac{{i\sqrt 6 }}{2}\\z = \pm \,\dfrac{{i\sqrt {15} }}{3}\end{array} \right.$ $ \Rightarrow T = \dfrac{2}{{i\sqrt 6 }} - \dfrac{2}{{i\sqrt 6 }} + \dfrac{3}{{i\sqrt {15} }} - \dfrac{3}{{i\sqrt {15} }} = 0$
Cho phương trình $4{z^4} + m{z^2} + 4 = 0$ trong tập số phức và \(m\) là tham số thực. Gọi \({z_1},{\rm{ }}{z_2},{\rm{ }}{z_3},{\rm{ }}{z_4}\) là bốn nghiệm của phương trình đã cho. Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để \(\left( {z_1^2 + 4} \right)\left( {z_2^2 + 4} \right)\left( {z_3^2 + 4} \right)\left( {z_4^2 + 4} \right) = 324\).
Đặt \(t = {z^2}\), phương trình trở thành \(4{t^2} + mt + 4 = 0\) có hai nghiệm \({t_1},{\rm{ }}{t_2}\).
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{t_1} + {t_2} = - \dfrac{m}{4}\\{t_1}.{t_2} = 1\end{array} \right.$ .
Do vai trò của các nghiệm như nhau nên ta giả sử ta có $z_1^2 = z_2^2 = {t_1}$, $z_3^2 = z_4^2 = {t_2}$.
Yêu cầu bài toán $ \Leftrightarrow {\left( {{t_1} + 4} \right)^2}{\left( {{t_2} + 4} \right)^2} = 324 \Leftrightarrow {\left[ {{t_1}{t_2} + 4\left( {{t_1} + {t_2}} \right) + 16} \right]^2} = 324$
$ \Leftrightarrow {\left( { - m + 17} \right)^2} = {18^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - m + 17 = 18\\ - m + 17 = - 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = 35\end{array} \right.$ .
Cho phương trình \({\left( {{z^2} - 4z} \right)^2} - 3\left( {{z^2} - 4z} \right) - 40 = 0.\) Gọi \({z_1},{\rm{ }}{z_2},\,{\rm{ }}{z_3}\) và \({z_4}\) là bốn nghiệm phức của phương trình đã cho. Tính $P = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} + {\left| {{z_3}} \right|^2} + {\left| {{z_4}} \right|^2}$.
Xem là phương trình bậc hai, với ẩn \(\left( {{z^2} - 4z} \right)\) và có \(\Delta = 9 + 160 = 169 = {13^2}\).
Do đó phương trình \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z^2} - 4z = \dfrac{{3 - 13}}{2} = - 5\\{z^2} - 4z = \dfrac{{3 + 13}}{2} = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z^2} - 4z + 5 = 0\\{z^2} - 4z - 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {z - 2} \right)^2} = - 1\\{\left( {z - 2} \right)^2} = 12\end{array} \right.\)
\({\left( {z - 2} \right)^2} = - 1 \Leftrightarrow {\left( {z - 2} \right)^2} = {i^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z - 2 = i\\z - 2 = - i\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 2 + i = {z_1}\\z = 2 - i = {z_2}\end{array} \right..\)
\({\left( {z - 2} \right)^2} = 12 \Leftrightarrow z - 2 = \pm 2\sqrt 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 2 - 2\sqrt 3 = {z_3}\\z = 2 + 2\sqrt 3 = {z_4}\end{array} \right..\)
Khi đó $P = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} + {\left| {{z_3}} \right|^2} + {\left| {{z_4}} \right|^2} = 42.$
Đề thi THPT QG 2019 – mã đề 104
Gọi \({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} - 4z + 7 = 0.\) Giá trị của \(z_1^2 + z_2^2\) bằng
\(\begin{array}{l}{z^2} - 4z + 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_1} = 2 + \sqrt 3 i\\{z_2} = 2 - \sqrt 3 i\end{array} \right.\\ \Rightarrow z_1^2 + z_2^2 = {\left( {2 + \sqrt 3 i} \right)^2} + {\left( {2 - \sqrt 3 i} \right)^2} = 1 + 4\sqrt 3 i + 1 - 4\sqrt 3 i = 2\end{array}\)
Trên tập hợp các số phức, xét phương trình \({z^2} - 2\left( {m + 1} \right)z + {m^2} = 0\) (\(m\) là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để phương trình đó có nghiệm \({z_0}\) thỏa mãn \(\left| {{z_0}} \right| = 8\)?
Đặt \({z^2} - 2\left( {m + 1} \right)z + {m^2} = 0\) (*).
TH1: \({z_0}\) là nghiệm thực \( \Rightarrow \left| {{z_0}} \right| = 8 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_0} = 8\\{z_0} = - 8\end{array} \right.\).
+ Nếu \({z_0} = 8\) thay vào (*)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {8^2} - 16\left( {m + 1} \right) + {m^2} = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 16m + 18 = 0\\ \Leftrightarrow m = 8 \pm \sqrt {46} \end{array}\)
\( \Rightarrow \) Có 2 giá trị thỏa mãn \(m = 8 \pm \sqrt {46} \) thì phương trình (*) có nghiệm \({z_0} = 8\) (tmycbt).
+ Nếu \({z_0} = - 8\) thay vào (*)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 64 + 16\left( {m + 1} \right) + {m^2} = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 16m + 80 = 0\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Vô nghiệm.
TH2: \({z_0}\) là nghiệm có chứa \(i \Leftrightarrow \Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - {m^2} < 0 \Leftrightarrow 2m + 1 < 0 \Leftrightarrow m < - \dfrac{1}{2}\).
Theo tính chất của phương trình bậc hai trên tập phức, nếu phương trình (*) có 1 nghiệm phức \({z_0}\) chứa \(i\) thì sẽ có 1 nghiệm phức còn lại là \(\overline {{z_0}} \).
Điều kiện \(\left| {{z_0}} \right| = 8 \Leftrightarrow {\left| {{z_0}} \right|^2} = {8^2} \Leftrightarrow {z_0}.\overline {{z_0}} = {8^2} \Leftrightarrow {z_0}.\overline {{z_0}} = 64\,\,\left( 1 \right)\).
Vì \({z_0}\) và \(\overline {{z_0}} \) là 2 nghiệm của phương trình (*), theo định lí Vi-ét ta có: \({z_0}.\overline {{z_0}} = {m^2}\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow {m^2} = 64 \Leftrightarrow m = \pm 8\).
So sánh điều kiện \(m < - \dfrac{1}{2} \Rightarrow m = - 8\).
Vậy tất cả TH1 và TH2 có 3 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán (\(m = 8 \pm \sqrt {46} \) và \(m = - 8\)).
Kí hiệu \({z_1},{z_2}\) là hai số phức của phương trình \({z^2} - 3z + 5 = 0\). Giá trị của \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\) bằng:
Ta có:
\(\begin{array}{l}{z^2} - 3z + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_1} = \dfrac{3}{2} + \dfrac{{\sqrt {11} }}{2}i\\{z_2} = \dfrac{3}{2} - \dfrac{{\sqrt {11} }}{2}i\end{array} \right. \\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| {{z_1}} \right| = \sqrt {{{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{\sqrt {11} }}{2}} \right)}^2}} = \sqrt 5 \\\left| {{z_2}} \right| = \sqrt {{{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{\sqrt {11} }}{2}} \right)}^2}} = \sqrt 5 \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 2\sqrt 5 .\end{array}\)
Gọi \({z_1}\) và \({z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} - 6z + 25 = 0\). Giá trị của biểu thức \(P = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2}\) là
Nếu \({z_1}\) là một nghiệm của phương trình \({z^2} - 6z + 25 = 0\) thì \(\overline {{z_1}} \) là nghiệm còn lại
Khi đó \({z_2} = \overline {{z_1}} \)
Mà theo hệ quả Vi-et ta có:
\(\begin{array}{l}{z_1}{z_2} = 25 \Rightarrow {z_1}.\overline {{z_1}} = 25\\ \Rightarrow {\left| {{z_1}} \right|^2} = {\left| {{z_2}} \right|^2} = 25\end{array}\)
Vậy \(P = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} = 25.2 = 50\)
Gọi \({z_1},\,\,{z_2}\) là các nghiệm của phương trình \({z^2} + 2z + 5 = 0\). Giá trị của \(\left| {z_1^2} \right| + \left| {z_2^2} \right|\) bằng:
Ta có: \({z^2} + 2z + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_1} = - 1 + 2i\\{z_2} = - 1 - 2i\end{array} \right.\).
Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}z_1^2 = - 3 - 4i \Rightarrow \left| {z_1^2} \right| = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = 5\\z_2^2 = - 3 + 4i \Rightarrow \left| {z_2^2} \right| = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {4^2}} = 5\end{array} \right.\).
Vậy \(\left| {z_1^2} \right| + \left| {z_2^2} \right| = 5 + 5 = 10\).
Gọi \({z_1},\,\,{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} - 2z + 3 = 0.\) Mệnh đềnào dưới đây sai?
Ta có: \({z^2} - 2z + 3 = 0\) \( \Leftrightarrow {z^2} - 2z + 1 = - 2\)
\( \Leftrightarrow {\left( {z - 1} \right)^2} = 2i\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z - 1 = \sqrt 2 i\\z - 1 = - \sqrt 2 i\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_1} = 1 + \sqrt 2 i\\{z_2} = 1 - \sqrt 2 i\end{array} \right.\)
Khi đó ta có:
\( + )\,\,\left| {{z_1}} \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt 3 \) và \(\left| {{z_2}} \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt 3 \) \( \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \sqrt 3 \)
\( \Rightarrow \) Đáp án A đúng.
\( + )\,\,{z_1}{z_2} = \left( {1 + \sqrt 2 i} \right)\left( {1 - \sqrt 2 i} \right)\) \( = 1 - 2{i^2} = 1 + 2 = 3\)\( \Rightarrow \) Đáp án B đúng.
\( + )\,\,{z_1} + {z_2} = 1 + \sqrt 2 i + 1 - \sqrt 2 i = 2\) \( \Rightarrow \) Đáp án C đúng.
\( + )\,\,\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = \sqrt 3 + \sqrt 3 \) \( = 2\sqrt 3 \ne 2\)\( \Rightarrow \) Đáp án D sai.
Gọi \({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} - 4z + 5 = 0\). Tìm phần thực a của số phức \(w = z_1^2 + z_2^2.\)
Ta có \({z^2} - 4z + 5 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 2 + i\\z = 2 - i\end{array} \right.\)
Khi đó \(w = z_1^2 + z_2^2 \) \(= {\left( {2 + i} \right)^2} + {\left( {2 - i} \right)^2} = 6\).
Vậy phần thực của số phức w là \(a = 6\).
Gọi \({z_1},\,\,{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \(9{z^2} + 6z + 4 = 0\). Giá trị của biểu thức \(\dfrac{1}{{\left| {{z_1}} \right|}} + \dfrac{1}{{\left| {{z_2}} \right|}}\) bằng
Ta có: \(9{z^2} + 6z + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_1} = - \dfrac{1}{3} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}i\\{z_2} = - \dfrac{1}{3} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}i\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \sqrt {\dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{3}} = \sqrt {\dfrac{4}{9}} = \dfrac{2}{3}\).
Vậy \(\dfrac{1}{{\left| {{z_1}} \right|}} + \dfrac{1}{{\left| {{z_2}} \right|}} = \dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{2} = 3.\)
Gọi \({z_0}\) là nghiệm phức có phần ảo dương của của phương trình \({z^2} - 2z + 10 = 0\). Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào sau đây là điểm biểu diễn số phức \(w = i{z_0}\).
Ta có: \({z^2} - 2z + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1 + 3i\\z = 1 - 3i\end{array} \right.\).
Vì \({z_0}\) là nghiệm phức có phần ảo dương của của phương trình trên \( \Rightarrow {z_0} = 1 + 3i\).
Khi đó ta có: \(w = i{z_0} = i\left( {1 + 3i} \right) = - 3 + i\).
Vậy điểm biểu diễn của số phức w là: \(M\left( { - 3;1} \right).\)
Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình \({z^2} + 2mz + 3m + 4 = 0\) có hai nghiệm không phải là số thực?
Để phương trình \({z^2} + 2mz + 3m + 4 = 0\) có hai nghiệm không phải là số thực thì \(\Delta ' < 0\).
\( \Leftrightarrow {m^2} - 3m - 4 < 0 \Leftrightarrow - 1 < m < 4\)
Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}\)
Vậy có 4 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Biết \({z_1},\,\,{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} - z + 1 = 0.\) Tính \(\left| {z_1^3 + z_2^3} \right|.\)
Xét phương trình: \({z^2} - z + 1 = 0\)
Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = 1\\{z_1}{z_2} = 1\end{array} \right..\)
Theo đề bài ta có: \(z_1^3 + z_2^3 = \left( {{z_1} + {z_2}} \right)\left[ {{{\left( {{z_1} + {z_2}} \right)}^2} - 3{z_1}{z_2}} \right]\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow z_1^3 + z_2^3 = 1\left( {{1^2} - 3} \right)\\ \Leftrightarrow z_1^3 + z_2^3 = - 2\\ \Rightarrow \left| {z_1^3 + z_2^3} \right| = \left| { - 2} \right| = 2.\end{array}\)
Cho phương trình \({z^2} + bz + c = 0\) ẩn z và b, c là tham số thuộc tập số thực. Biết phương trình nhận\(z = 1 + i\) là một nghiệm. Tính \(T = b + c.\)
Vì \(z = 1 + i\) là một nghiệm của phương trình \({z^2} + bz + c = 0\) nên ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\left( {1 + i} \right)^2} + b\left( {1 + i} \right) + c = 0\\ \Leftrightarrow 2i + b + bi + c = 0\\ \Leftrightarrow b + c + \left( {b + 2} \right)i = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b + c = 0\\b + 2 = 0\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(T = b + c = 0\).
Phương trình \({z^2} + az + b = 0\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) có một nghiệm phức \(z = 1 - 3i\). Khi đó \(2{a^3} + 2{b^3} + 3\) bằng
Phương trình \({z^2} + az + b = 0\) có 1 nghiệm phức \({z_1} = 1 - 3i \Rightarrow {z_2} = 1 + 3i\)
Áp dụng định lý Vi-et ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = - a\\{z_1}.{z_2} = b\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = 10\end{array} \right.\)
Khi đó \(T = 2{a^3} + 2{b^3} + 3 = 1987\)
Đề thi THPT QG – 2021 lần 1– mã 104
Trên tập hợp các số phức, xét phương trình \({z^2} - 2\left( {m + 1} \right)z + {m^2} = 0\)\((m\) là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của \(m\) để phương trình đó có nghiệm \({z_0}\) thỏa mãn \(\left| {{z_0}} \right| = 6\)?
TH1: \({z_0}\) là nghiệm thực \( \Rightarrow \left| {{z_0}} \right| = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_0} = 6\\{z_0} = - 6\end{array} \right.\)
Nếu \({z_0} = 6\) thay vào (*) ta có: \({6^2} - 12\left( {m + 1} \right) + {m^2} = 0 \Rightarrow {m^2} - 12m + 24 = 0 \Rightarrow m = 6 \pm 2\sqrt 3 \)
Nếu \({z_0} = - 6\) thay vào (*) ta có: \({\left( { - 6} \right)^2} + 12\left( {m + 1} \right) + {m^2} = 0 \Rightarrow {m^2} + 12m + 48 = 0\) (vô nghiệm)
TH2: \({z_0}\) là số phức \( \Leftrightarrow \Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - {m^2} = 2m + 1 < 0 \Leftrightarrow m < - \dfrac{1}{2}\)
Do đó phương trình có hai nghiệm phức \({z_0}\) và \(\overline {{z_0}} \).
Theo định lí Vi-ét ta có: \({z_0}.\overline {{z_0}} = {m^2}\)
Mà \(\left| {{z_0}} \right| = 6 \Rightarrow {\left| {{z_0}} \right|^2} = 36 \Rightarrow {z_0}.\overline {{z_0}} = 36\)
Suy ra \({m^2} = 36 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 6\,\,\,\,(ktmdk)\\m = - 6\,(tmdk)\end{array} \right.\)
Vậy có \(3\) giá trị \(m\) thỏa mãn.
Gọi \({z_1},\,\,{z_2}\) là các nghiệm phức của phương trình \({z^2} - 2z + 3 = 0.\) Modul của \(z_1^3.z_2^4\) bằng:
Ta có: \({z^2} - 2z + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_1} = 1 + \sqrt 2 i \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| = \sqrt {1 + 2} = \sqrt 3 \\{z_2} = 1 - \sqrt 2 i \Rightarrow \left| {{z_2}} \right| = \sqrt {1 + 2} = \sqrt 3 \end{array} \right..\)
\( \Rightarrow \left| {z_1^3.z_2^4} \right| = {\left| {{z_1}} \right|^3}.{\left| {{z_2}} \right|^4} = {\left( {\sqrt 3 } \right)^3}.{\left( {\sqrt 3 } \right)^4} = {\left( {\sqrt 3 } \right)^7} = 27\sqrt 3 .\)
Biết phương trình \({x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0\) \(\left( {a,b,c,d \in \mathbb{R}} \right)\) nhận \({z_1} = - 1 + i\) và \({z_2} = 1 + \sqrt 2 i\) là nghiệm. Tính \(a + b + c + d\).
Nhận xét: Phương trình đã cho nhận \({z_1},{z_2}\) làm nghiệm thì cũng nhận \(\overline {{z_1}} ,\overline {{z_2}} \) làm nghiệm.
Khi đó \({z_1} = - 1 + i \Rightarrow \overline {{z_1}} = - 1 - i \Rightarrow m = {z_1} + \overline {{z_1}} = - 2,n = {z_1}\overline {{z_1}} = 2\).
\({z_2} = 1 + \sqrt 2 i \Rightarrow \overline {{z_2}} = 1 - \sqrt 2 i \Rightarrow p = {z_2} + \overline {{z_2}} = 2,q = {z_2}\overline {{z_2}} = 3\).
Vậy phương trình đã cho tương đương \(\left( {{x^2} + 2x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow {x^4} + {x^2} + 2x + 6 = 0\)
Do đó \(a = 0,b = 1,c = 2,d = 6 \Rightarrow a + b + c + d = 0 + 1 + 2 + 6 = 9\).
Có bao nhiêu số nguyên a để phương trình \({z^2} - \left( {a - 3} \right)z + {a^2} + a\) có 2 nghiệm phức \({z_1},\,\,{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \left| {{z_1} - {z_2}} \right|\)?
Phương trình \({z^2} - \left( {a - 3} \right)z + {a^2} + a\) có \(\Delta = {\left( {a - 3} \right)^2} - 4\left( {{a^2} + a} \right) = - 3{a^2} - 10a + 9\).
TH1: phương trình có 2 nghiệm thực.
\( \Rightarrow \) \(\Delta \ge 0 \Leftrightarrow \dfrac{{ - 5 - 2\sqrt {13} }}{3} \le a \le \dfrac{{ - 5 + 2\sqrt {13} }}{3}\).
Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = a - 3\\{z_1}{z_2} = {a^2} + a\end{array} \right.\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \left| {{z_1} - {z_2}} \right|\\ \Rightarrow {\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} = {\left| {{z_1} - {z_2}} \right|^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {{z_1} + {z_2}} \right)^2} = {\left( {{z_1} + {z_2}} \right)^2} - 4{z_1}{z_2}\\ \Leftrightarrow {z_1}{z_2} = 0\\ \Leftrightarrow {a^2} + a = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = - 1\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)
TH2: Phương trình có 2 nghiệm phức
\( \Rightarrow \Delta < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a < \dfrac{{ - 5 - 2\sqrt {13} }}{3}\\a > \dfrac{{ - 5 + 2\sqrt {13} }}{3}\end{array} \right.\).
Ta có: \({z_2} = \overline {{z_1}} \) nên \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \left| {{z_1} - {z_2}} \right| \Leftrightarrow \left| {{z_1} + \overline {{z_1}} } \right| = \left| {{z_1} - \overline {{z_1}} } \right|\)
Đặt \({z_1} = m + ni \Rightarrow \overline {{z_1}} = m - ni\).
\( \Rightarrow \left| {2m} \right| = \left| {2ni} \right| \Leftrightarrow \left| m \right| = \left| n \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = n\\m = - n\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_1} = m + mi\\{z_1} = m - mi\end{array} \right.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = a - 3\\{z_1}{z_2} = {a^2} + a\end{array} \right. \end{array}\)$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + mi + m - mi = a - 3\\{m^2} + {m^2} = {a^2} + a\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \dfrac{{a - 3}}{2}\\2{\left( {\dfrac{{a - 3}}{2}} \right)^2} = {a^2} + a\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \dfrac{{a - 3}}{2}\\{a^2} - 6a + 9 = 2{a^2} + 2a\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \dfrac{{a - 3}}{2}\\{a^2} + 8a - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = -9\\a = 1\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.$
Kết hợp 2 trường hợp ta có 4 giá trị của a thỏa mãn bài toán.
