Cho phương trình \({\left( {{z^2} - 4z} \right)^2} - 3\left( {{z^2} - 4z} \right) - 40 = 0.\) Gọi \({z_1},{\rm{ }}{z_2},\,{\rm{ }}{z_3}\) và \({z_4}\) là bốn nghiệm phức của phương trình đã cho. Tính $P = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} + {\left| {{z_3}} \right|^2} + {\left| {{z_4}} \right|^2}$.

Xem là phương trình bậc hai, với ẩn \(\left( {{z^2} - 4z} \right)\) và có \(\Delta  = 9 + 160 = 169 = {13^2}\).

Do đó phương trình \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z^2} - 4z = \dfrac{{3 - 13}}{2} =  - 5\\{z^2} - 4z = \dfrac{{3 + 13}}{2} = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z^2} - 4z + 5 = 0\\{z^2} - 4z - 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {z - 2} \right)^2} =  - 1\\{\left( {z - 2} \right)^2} = 12\end{array} \right.\)

\({\left( {z - 2} \right)^2} = - 1 \Leftrightarrow {\left( {z - 2} \right)^2} = {i^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z - 2 = i\\z - 2 = - i\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 2 + i = {z_1}\\z = 2 - i = {z_2}\end{array} \right..\)

\({\left( {z - 2} \right)^2} = 12 \Leftrightarrow z - 2 = \pm 2\sqrt 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 2 - 2\sqrt 3  = {z_3}\\z = 2 + 2\sqrt 3  = {z_4}\end{array} \right..\)

Khi đó $P = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} + {\left| {{z_3}} \right|^2} + {\left| {{z_4}} \right|^2} = 42.$