Gọi \({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \(2{z^2} - z + 7 = 0\). Tính \(S = \left| {{z_1}.\overline {{z_2}} + {z_2}.\overline {{z_1}} } \right|\).
\({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \(2{z^2} - z + 7 = 0 \Rightarrow {z_1},{z_2}\) là hai số phức liên hợp, có \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = \dfrac{1}{2}\\\,{z_1}.{z_2} = \dfrac{7}{2}\end{array} \right.\)
\(S = \left| {{z_1}.\overline {{z_2}} + {z_2}.\overline {{z_1}} } \right| = \left| {{z_1}^2 + {z_2}^2} \right| = \left| {{{\left( {{z_1} + {z_2}} \right)}^2} - 2{z_1}{z_2}} \right| = \left| {{{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2} - 2.\dfrac{7}{2}} \right| = \dfrac{{27}}{4}\).
Đề thi THPT QG 2020 – mã đề 104
Gọi \({z_0}\)là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình \({z^2} - 4z + 13 = 0\). Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn của số phức \(1 - {z_0}\) là
Ta có: \({z^2} - 4z + 13 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 2 + 3i\\z = 2 - 3i\end{array} \right.\) \( \Rightarrow {z_0} = 2 + 3i.\)
\( \Rightarrow 1 - {z_0} = 1 - \left( {2 + 3i} \right) = - 1 - 3i.\)
\( \Rightarrow N\left( { - 1; - 3} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \(1 - {z_0}.\)
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 102
Trên tập hợp các số phức, xét phương trình \({z^2} - 2\left( {m + 1} \right)z + {m^2} = 0\) (*) (\(m\) là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của \(m\) để phương trình đó có nghiệm \({z_0}\) thỏa mãn \(\left| {{z_0}} \right| = 5\)?
TH1: \({z_0}\) là nghiệm thực \( \Rightarrow \left| {{z_0}} \right| = 5 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_0} = 5\\{z_0} = - 5\end{array} \right.\)
Nếu \({z_0} = 5\) thay vào (*) ta có: \({5^2} - 10\left( {m + 1} \right) + {m^2} = 0 \Rightarrow {m^2} - 10m + 15 = 0 \Rightarrow m = 5 \pm \sqrt {10} \)
Nếu \({z_0} = - 5\) thay vào (*) ta có: \({\left( { - 5} \right)^2} + 10\left( {m + 1} \right) + {m^2} = 0 \Rightarrow {m^2} + 10m + 35 = 0\) (vô nghiệm)
TH2: \({z_0}\) là số phức \( \Leftrightarrow \Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - {m^2} = 2m + 1 < 0 \Leftrightarrow m < - \dfrac{1}{2}\)
Do đó phương trình có hai nghiệm phức \({z_0}\) và \(\overline {{z_0}} \).
Theo định lí Vi-ét ta có: \({z_0}.\overline {{z_0}} = {m^2}\)
Mà \(\left| {{z_0}} \right| = 5 \Rightarrow {\left| {{z_0}} \right|^2} = 25 \Rightarrow {z_0}.\overline {{z_0}} = 25\)
Suy ra \({m^2} = 25 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 5\,(ktmdk)\\m = - 5\,(tmdk)\end{array} \right.\)
Vậy có \(3\) giá trị \(m\) thỏa mãn.
Số phức \(w\) là căn bậc hai của số phức \(z\) nếu:
Số phức \(w = x + yi\left( {x,y \in R} \right)\) là căn bậc hai của số phức \(z = a + bi\) nếu \({w^2} = z\).
Căn bậc hai của số phức khác \(0\) là:
Căn bậc hai của số phức khác \(0\) là hai số đối nhau.
Căn bậc hai của số \(a = - 3\) là:
Căn bậc hai của số \(a = - 3\) là \(i\sqrt 3 \) và \( - i\sqrt 3 \).
Cho phương trình bậc hai \(A{z^2} + Bz + C = 0\left( {A \ne 0} \right)\). Biệt thức \(\Delta \) của phương trình được tính bởi:
Phương trình bậc hai \(A{z^2} + Bz + C = 0\left( {A \ne 0} \right)\) có biệt thức \(\Delta = {B^2} - 4AC\).
Cho phương trình \(2{z^2} - 3iz + i = 0\). Chọn mệnh đề đúng:
Ta có: \(\Delta = {\left( { - 3i} \right)^2} - 4.2.i = 9{i^2} - 8i = - 9 - 8i\)
Phương trình bậc hai trên tập số phức có thể có mấy nghiệm?
Phương trình bậc hai có thể có \(1\) nghiệm nếu \(\Delta = 0\) hoặc \(2\) nghiệm nếu \(\Delta \ne 0\).
Cho \({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({z^2} + 2iz + i = 0\). Chọn mệnh đề đúng:
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = - \dfrac{B}{A} = \dfrac{{ - 2i}}{1} = - 2i\\{z_1}{z_2} = \dfrac{C}{A} = \dfrac{i}{1} = i\end{array} \right.\)
Vậy \({z_1} + {z_2} = - 2i\).
Gọi \({z_1};{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} + 2z + 5 = 0\). Tính \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\).
Ta có:
\(\Delta ' = 1 - 5 = - 4 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_1} = - 1 + 2i\\{z_2} = - 1 - 2i\end{array} \right. \)
$\Rightarrow T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} + \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = 2\sqrt 5$
Gọi ${z_{1,}}$${z_2}$ là các nghiệm phức của phương trình ${z^2} + 4z + 5 = 0$. Đặt $w = {\left( {1 + {z_1}} \right)^{100}} + {\left( {1 + {z_2}} \right)^{100}}$, khi đó
Ta có:
${z^2} + 4z + 5 = 0 \Leftrightarrow {(z + 2)^2} = - 1 \Leftrightarrow {(z + 2)^2} = {i^2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{z_1} = - 2 + i\\{z_2} = - 2 - i\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{z_1} + 1 = i - 1\\{z_2} + 1 = - i - 1\end{array} \right.$
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{({z_1} + 1)^2} = {(i - 1)^2} = - 2i\\{({z_2} + 1)^2} = {( - i - 1)^2} = 2i\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{({z_1} + 1)^4} = - 4\\{({z_2} + 1)^4} = - 4\end{array} \right.\\ \Rightarrow {({z_1} + 1)^{100}} + {({z_2} + 1)^{100}} = {\left( { - 4} \right)^{25}} + {\left( { - 4} \right)^{25}} = 2.{\left( { - {2^2}} \right)^{25}} = - {2^{51}}\end{array}\)
Cho phương trình \({z^2} - 2z + 2 = 0\) . Mệnh đề nào sau đây là sai?
\(\Delta ' = 1 - 2 = - 1 < 0 \Rightarrow \) phương trình có hai nghiệm là \(z = 1 + i\) và \(z = 1 - i\).
Vậy phương trình có hai nghiệm phức.
Do đó các đáp án A, B, D đều đúng
Biết rằng phương trình ${z^2} + bz + c = 0\left( {b;c \in R} \right)$ có một nghiệm phức là ${z_1} = 1 + 2i$ . Khi đó:
Ta có $z = 1 + 2i$ là nghiệm của phương trình nên ta có:
$\begin{array}{l}{(1 + 2i)^2} + b(1 + 2i) + c = 0 \Leftrightarrow - 3 + 4i + b + 2bi + c = 0\\ \Leftrightarrow ( - 3 + b + c) + (4 + 2b)i = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 + b + c = 0\\4 + 2b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow b + c = 3\end{array}$
Gọi \({z_0}\) là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình \(2{z^2} - 6z + 5 = 0\). Điểm nào dưới đây biểu diễn số phức \(i{z_0}\)?
\(2{z^2} - 6z + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2}i\\z = \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2}i\end{array} \right. \Rightarrow {z_0} = \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2}i\) ( vì có phần ảo âm)
\( \Rightarrow i{z_0} = i\left( {\dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2}i} \right) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2}i \Rightarrow M\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}} \right)\).
Cho số phức $z = a + bi$ với $a,b$ là hai số thực khác $0$. Một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận \(\bar z\) làm nghiệm với mọi $a,b$ là:
Đáp án A:
\(\begin{array}{l}{z^2} = {a^2} + 2abi - {b^2}\\ \Leftrightarrow {z^2} = {a^2} + 2.a.bi + {b^2}.{i^2} = {\left( {a + bi} \right)^2}\\ \Leftrightarrow z = \pm \left( {a + bi} \right)\end{array}\)
Vậy có 2 nghiệm $z = a + bi$ hoặc $z = - a - bi$ (Loại).
Đáp án B: $z = \pm \sqrt {{a^2} + {b^2}} $ (loại)
Đáp án C:
\(\begin{array}{l}{z^2} - 2az + {a^2} + {b^2} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {z - a} \right)^2} = - {b^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {z - a} \right)^2} = {b^2}{i^2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z - a = bi\\z - a = - bi\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = a + bi\\z = a - bi\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy phương trình bậc hai trên có nghiệm $z = a + bi;z = a - bi$ (thỏa mãn)
Đáp án D: Giải phương trình ta được hai nghiệm $a \pm b$ nên loại.
Cho số phức \({\rm{w}}\)và hai số thực \(a,b\). Biết \({z_1} = {\rm{w}} + 2i\) và \({z_2} = 2w - 3\) là 2 nghiệm phức của phương trình \({z^2} + az + b = 0\). Tính \(T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\).
Đặt \({\rm{w}} = x + yi\). Khi đó:
\(\begin{array}{l}{z_1} = x + yi + 2i = x + \left( {y + 2} \right)i;{z_2} = 2(x + yi) - 3 = \left( {2x - 3} \right) + 2yi \\ \Rightarrow {z_2} = \left( {2x - 3} \right) - 2yi\\{z_1} = \overline {{z_2}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2x - 3\\y + 2 = - 2y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = - \dfrac{2}{3}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{z_1} = 3 + \dfrac{4}{3}i\\{z_2} = 3 - \dfrac{4}{3}i\end{array} \right. \\ \Rightarrow T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = \sqrt {{3^2} + {{\left( {\dfrac{4}{3}} \right)}^2}} + \sqrt {{3^2} + {{\left( { - \dfrac{4}{3}} \right)}^2}} = \dfrac{{2\sqrt {97} }}{3}\end{array}\)
Cho số phức $w$ và hai số thực $a,b$. Biết rằng $2w + i$ và $3w - 5$ là hai nghiệm của phương trình ${z^2} + az + b = 0$. Tìm phần thực của số phức $w$.
Đặt ${\rm{w}} = x + yi$. Do $2w + i;3w - 5$ là hai nghiệm của phương trình \({z^2} + az + b = 0\) nên ta có
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2w + i + 3w - 5 = - a\\(2w + i)(3w - 5) = b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}(5x - 5 + a) + (5y + 1)i = 0\\6\left( {{x^2} - {y^2}} \right) + 12xyi - 10(x + yi) - 5i + 3i(x + yi) - b = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}(5x - 5 + a) + (5y + 1)i = 0\\6\left( {{x^2} - {y^2}} \right) - 10x - 3y - b + (12xy - 10y + 3x - 5)i = 0\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}5y + 1 = 0\\12xy - 10y + 3x - 5 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - \dfrac{1}{5}\\x = 5\end{array} \right.\end{array}\)
Kí hiệu \({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({z^2} + z + 1 = 0\). Tính \(P = z_1^2 + z_2^2 + {z_1}{z_2}.\)
$\begin{array}{l}{z^2} + z + 1 = 0\\\Delta = 1 - 4 = - 3 = 3{i^2}\\z = \dfrac{{ - 1 \pm i\sqrt 3 }}{2}\end{array}$
$z = - \dfrac{1}{2} \pm \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i $
$\Rightarrow P = {( - \dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i)^2} + {( - \dfrac{1}{2} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i)^2} + ( - \dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i)\left( { - \dfrac{1}{2} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)$
$= - \dfrac{1}{2} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i - \dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i + \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = 0$
Gọi \({z_1};{z_2};{z_3};{z_4}\) là bốn nghiệm phức của phương trình \(2{z^4} - 3{z^2} - 2 = 0\). Tổng \(T = |{z_1}{|^2} + |{z_2}{|^2} + |{z_3}{|^2} + |{z_4}{|^2}\) bằng:
\(2{z^4} - 3{z^2} - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z^2} = 2\\{z^2} = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \pm \sqrt 2 \\z = \pm i\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.\)\(T = |{z_1}{|^2} + |{z_2}{|^2} + |{z_3}{|^2} + |{z_4}{|^2} = 2 + 2 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 5\)
