Tìm tập nghiệm S của phương trình 3x−1.52x−2−mx−m=15, m là tham số khác 2.
Điều kiện: x≠m.
Phương trình ⇔3x−1.52x−2−mx−m=3.5⇔52x−2−mx−m−1=31−(x−1)⇔5x−2x−m=32−x (∗)
Lấy logarit cơ số 5 hai vế của (∗), ta được
x−2x−m=(2−x)log53⇔(x−2)(1x−m+log53)=0.
Với x−2=0⇔x=2(TM).
Với 1x−m+log53=0⇔x−m=−1log53 ⇔x=m−log35(TM)
Vậy phương trình có tập nghiệm S={2;m−log35}.
Biết rằng phương trình 3x2+1.25x−1=325 có đúng hai nghiệm x1,x2. Tính giá trị của P=√3x1+3x2.
Phương trình 3x2+1.25x−1=325 ⇔3x2+13=125x−1.25⇔3x2=125x (∗)
Lấy logarit cơ số 3 hai vế của (∗), ta được ⇔log33x2=log3125x
⇔x2=xlog3125⇔x2−xlog3125=0⇔[x=0=x1x=log3125=x2.
Suy ra P=√3x1+3x2=√30+3log3125=√265.
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình 22x−1+m2−m=0 có nghiệm.
Phương trình 22x−1+m2−m=0 ⇔22x−1=−m2+m có nghiệm ⇔−m2+m>0
⇔m(m−1)<0 ⇔0<m<1.
Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 5sin2x+5cos2x=2√5 trên đoạn [0;2π].
Ta có 5sin2x+5cos2x=2√5⇔5sin2x+51−sin2x=2√5⇔5sin2x+55sin2x=2√5
⇔(5sin2x)2−2√5.5sin2x+5=0⇔(5sin2x−√5)2=0⇔5sin2x−√5=0⇔5sin2x=512
⇔sin2x=12⇔[sinx=√22sinx=−√22⇔x=π4+kπ2,k∈Z.
Do x∈[0;2π] ⇒x={π4;3π4;5π4;7π4} ⇒T=π4+3π4+5π4+7π4=4π
Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình (x−3)2x2−5x=1.
Ta xét các trường hợp sau:
TH1. x−3=1⇔x=4 thỏa mãn phương trình.
TH2: x−3=−1⇔x=2 thỏa mãn phương trình.
TH3. {x−3≠02x2−5x=0⇔[x=0x=52.
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm x=0;x=2;x=52;x=4 ⇒T=172
Tính S là tổng tất cả các nghiệm của phương trình 4.22x−4.2x+4.2−2x−4.2−x−7=0
4.22x−4.2x+4.2−2x−4.2−x−7=0
⇔4.(22x+2−2x)−4.(2x+2−x)−7=0
Đặt t=2x+2−x, suy ra t2=22x+2−2x+2.
Ta có t=2x+2−xCauchy≥2√2x.2−x=2.
Phương trình trở thành 4(t2−2)−4t−7=0⇔4t2−4t−15=0 ⇔[t=52(TM)t=−32(L)
t=52⇒2x+2−x=52⇔2x+12x=52⇔2.22x−5.2x+2=0 ⇔[2x=22x=12⇔[x=1=x1x=−1=x2
⇒S=x1+x2=0.
Phương trình 2x−1−2x2−x=(x−1)2 có tất cả bao nhiêu nghiệm?
Phương trình 2x−1−2x2−x=(x−1)2 ⇔2x−1+(x−1)=2x2−x+(x2−x) (∗)
Xét hàm số f(t)=2t+t trên R, ta có f′(t)=2tln2+1>0,∀t∈R.
Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên R.
Nhận thấy (∗) có dạng f(x−1)=f(x2−x)⇔x−1=x2−x ⇔(x−1)2=0⇔x=1
Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất x=1.
Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 2017sin2x−2017cos2x=cos2x trên đoạn [0;π].
Phương trình ⇔2017sin2x−2017cos2x=cos2x−sin2x
⇔2017sin2x+sin2x=2017cos2x+cos2x. (∗)
Xét hàm số f(t)=2017t+t trên R, ta có f′(t)=2017tln2017+1>0,∀t∈R.
Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên R.
Nhận thấy (∗) có dạng f(sin2x)=f(cos2x)⇔sin2x=cos2x
⇔cos2x−sin2x=0⇔cos2x=0⇔x=π4+kπ2,k∈Z
Vì x∈[0;π]⇒x={π4;3π4} ⇒T=π4+3π4=π
Tổng bình phương các nghiệm của phương trình 3x2−1+(x2−1)3x+1=1 là
Nếu x∈(−∞;−1)∪(1;+∞) thì x2−1>0. Suy ra 3x2−1+(x2−1)3x+1>1.
Do đó phương trình đã cho vô nghiệm.
Nếu x∈(−1;1) thì x2−1<0. Suy ra 3x2−1+(x2−1)3x+1<1.
Do đó phương trình đã cho vô nghiệm.
Kiểm tra x=±1 thỏa mãn phương trình đã cho.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x1=−1, x2=1.
Suy ra x21+x22=1
Đề thi THPT QG 2020 – mã đề 104
Nghiệm của phương trình 3x+2=27 là
Ta có: 3x+2=27⇔3x+2=33 ⇔x+2=3⇔x=1.
Cho phương trình 2016x2−1+(x2−1).2017x=1. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Nếu x∈(−∞;−1)∪(1;+∞) thì x2−1>0. Suy ra {2016x2−1>1(x2−1).2017x>0
⇒2016x2−1+(x2−1).2017x>1. Do đó phương trình đã cho vô nghiệm.
Nếu x∈(−1;1) thì x2−1<0. Suy ra {2016x2−1<1(x2−1).2017x<0
⇒2016x2−1+(x2−1).2017x<1. Do đó phương trình đã cho vô nghiệm.
Kiểm tra x=±1 thỏa mãn phương trình đã cho.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x1=−1, x2=1.
Suy ra phương trình đã cho có tổng các nghiệm bằng 0.
Phương trình 2log5(x+3)=x có tất cả bao nhiêu nghiệm?
Điều kiện: x>−3.
Do 2log5(x+3)>0 nên để phương trình có nghiệm thì x > 0.
Lấy logarit cơ số 2 của hai vế phương trình, ta được {\log _5}\left( {x + 3} \right) = {\log _2}x.
Đặt t = {\log _5}\left( {x + 3} \right) = {\log _2}x \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3 = {5^t}\\x = {2^t}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {5^t} - 3\\x = {2^t}\end{array} \right. \Leftrightarrow {5^t} - 3 = {2^t} \Leftrightarrow {5^t} = {3.1^t} + {2^t}
Chia hai vế phương trình cho {5^t}, ta được 1 = 3.{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^t} + {\left( {\dfrac{2}{5}} \right)^t}.
Đây là phương trình hoành độ giao điểm của đường y = 1 (hàm hằng) và đồ thị hàm số y = 3.{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^t} + {\left( {\dfrac{2}{5}} \right)^t} (hàm số này nghịch biến vì nó là tổng của hai hàm số nghịch biến).
Do đó phương trình có nghiệm duy nhất. Nhận thấy t = 1 thỏa mãn phương trình.
Với t = 1 \Rightarrow x = {2^t} = 2\left( {TM} \right).
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất.
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 102
Có bao nhiêu số nguyên y sao cho tồn tại x \in \left( {\dfrac{1}{3};4} \right) thỏa mãn {27^{3{x^2} + xy}} = \left( {1 + xy} \right){27^{12x}}
Ta có: {27^{3{x^2} + xy - 12x}} = xy + 1
ĐK: xy + 1 > 0 \Leftrightarrow y > - \dfrac{1}{x} khi x \in \left( {\dfrac{1}{3};4} \right) \Rightarrow y > - 3 thì mới tồn tại x \in \left( {\dfrac{1}{3};4} \right).
Xét {27^{3{x^2} + xy - 12x}} - xy - 1 = 0
Đặt f\left( x \right) = g\left( y \right) = {27^{3{x^2} + xy - 12x}} - xy - 1 ta có: \left\{ \begin{array}{l}f\left( {\dfrac{1}{3}} \right) = {3^{y - 11}} - \dfrac{y}{3} - 1\\f\left( 4 \right) = {27^{4y}} - 4y - 1\end{array} \right.
Nhận thấy f\left( 4 \right) \ge 0\,\forall \,y \in \mathbb{Z}. Dấu bằng xảy ra khi y = 0.
Xét y = 0 thay vào phương trình ban đầu \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 4\end{array} \right. loại vì x \in \left( {\dfrac{1}{3};4} \right)
Xét y \ne 0 \Rightarrow f\left( 4 \right) > 0\,\forall \,x \in \mathbb{Z}*
Ta table khảo sát f\left( {\dfrac{1}{3}} \right) ta rút ra được f\left( {\dfrac{1}{3}} \right) < 0,\,\forall y \in \left\{ { - 2; - 1;1;2;...;9;10;11;12} \right\}.
Ta có: f\left( {\dfrac{1}{3}} \right).f\left( 4 \right) < 0\,\forall \,y \in \left\{ { - 2; - 1;1;2;...;9;10;11;12} \right\}
Có 14 giá trị của y để tồn tại nghiệm x \in \left( {\dfrac{1}{3};4} \right)
Từ bảng Table ta nhận thấy khi y \ge 13 thì phương trình vô nghiệm.
g'\left( y \right) = x\left( {{{27}^{3{x^2} + x\left( {y - 12} \right)}}.\ln 27 - 1} \right) > 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\forall y \ge 13\\x \in \left( {\dfrac{1}{3};4} \right)\end{array} \right.
\Rightarrow g\left( y \right) \ge g\left( {12} \right) = {27^{3{x^2}}} - 12x - 1 = h\left( x \right)
Ta có: h'\left( x \right) = 6x{.27^{3{x^2}}}.\ln 27 - 12 > 0\,\forall \,x \in \left( {\dfrac{1}{3};4} \right)
\Rightarrow h\left( x \right) > h\left( {\dfrac{1}{3}} \right) = - 2 < 0
Phương trình vô nghiệm với x \in \left( {\dfrac{1}{3};4} \right)
Vậy có 14 giá trị nguyên của y thỏa mãn.
Phương trình {4^{2x + 5}} = {2^{2 - x}} có nghiệm là:
{4^{2{\rm{x}} + 5}} = {2^{2 - x}} \Leftrightarrow {2^{4{\rm{x}} + 10}} = {2^{2 - x}} \Leftrightarrow 4{\rm{x}} + 10 = 2 - x \Leftrightarrow 5{\rm{x}} = - 8 \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 8}}{5}
Tổng các nghiệm của phương trình {3^{{x^4} - 3{x^2}}} = 81
{3^{{x^4} - 3{x^2}}} = 81 = {3^4} \Leftrightarrow {x^4} - 3{x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2
Tổng các nghiệm sẽ bằng 0.
Tìm nghiệm của phương trình \dfrac{{{3^{2x - 6}}}}{{27}} = {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^x}.
\dfrac{{{3^{2x - 6}}}}{{27}} = {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^x} \Leftrightarrow {3^{2x - 6}} = {3^3}{.3^{ - x}} \Leftrightarrow {3^{2x - 6}} = {3^{3 - x}} \Leftrightarrow 2x - 6 = 3 - x \Leftrightarrow x = 3
Tìm nghiệm của phương trình {9^{\sqrt {x - 1} }} = {e^{\ln 81}}
{e^{\ln 81}} = 81 = {9^2}
Điều kiện: x \ge 1.
Suy ra \sqrt {x - 1} = 2 \Leftrightarrow x - 1 = 4 \Rightarrow x = 5
Giải phương trình {4^x} = {8^{x - 1}}
{4^x} = {8^{x - 1}} \Leftrightarrow {2^{2x}} = {2^{3\left( {x - 1} \right)}} \Leftrightarrow 2x = 3\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow x = 3
Tìm tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình {2^{{x^2} + x - 1}} = \dfrac{1}{2}.
{2^{{x^2} + x - 1}} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow {2^{{x^2} + x - 1}} = {2^{ - 1}} \Leftrightarrow {x^2} + x - 1 = - 1 \Leftrightarrow {x^2} + x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 1\end{array} \right.
Tìm giá trị của a để phương trình {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} + \left( {1 - a} \right){\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} - 4 = 0 có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn:{x_1} - {x_2} = {\log _{2 + \sqrt 3 }}3, ta có a thuộc khoảng:
Ta có {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x}{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} = 1 \Rightarrow {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} = \dfrac{1}{{{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^x}}}.
Đặt t = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x}{\rm{ }}\left( {t > 0} \right), phương trình đã cho trở thành t + \dfrac{{1 - a}}{t} - 4 = 0 \Leftrightarrow {t^2} - 4t + 1 - a = 0(*)
Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm dương phân biệt \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta = 3 + a > 0\\{t_1} + {t_2} = 4 > 0\\{t_1}{t_2} = 1 - a > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow - 3 < a < 1
Ta có {x_1} - {x_2} = {\log _{2 + \sqrt 3 }}3 \Leftrightarrow {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{{x_1} - {x_2}}} = 3 \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^{{x_1}}}}}{{{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^{{x_2}}}}} = 3 \Leftrightarrow \dfrac{{{t_1}}}{{{t_2}}} = 3
Vì {t_1} + {t_2} = 4 nên điều này xảy ra khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm t = 3 và t = 1.
Khi đó 1 – a = 3.1 = 3 ⇔ a = –2.
Trong 4 đáp án chỉ có B là đúng.