Phương trình mũ và một số phương pháp giải

Điều kiện: \(x \ne m.\)

Phương trình \( \Leftrightarrow {3^{x - 1}}{.5^{\frac{{2x - 2 - m}}{{x - m}}}} = 3.5\)\( \Leftrightarrow {5^{\frac{{2x - 2 - m}}{{x - m}} - 1}} = {3^{1 - \left( {x - 1} \right)}} \Leftrightarrow {5^{\frac{{x - 2}}{{x - m}}}} = {3^{2 - x}}\)                                         \(\left( * \right)\)

Lấy logarit cơ số 5 hai vế của \(\left( * \right)\), ta được

$\dfrac{{x - 2}}{{x - m}} = \left( {2 - x} \right){\log _5}3 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {\dfrac{1}{{x - m}} + {{\log }_5}3} \right) = 0.$

Với \(x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2\left( {TM} \right).\)

Với \(\dfrac{1}{{x - m}} + {\log _5}3 = 0\)\( \Leftrightarrow x - m =  - \dfrac{1}{{{{\log }_5}3}}\) \( \Leftrightarrow x = m - {\log _3}5{\rm{ }}\left( {TM} \right)\)

Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {2;m - {{\log }_3}5} \right\}.\)

Phương trình ${3^{{x^2} + 1}}{.25^{x - 1}} = \dfrac{3}{{25}}$ $ \Leftrightarrow \dfrac{{{3^{{x^2} + 1}}}}{3} = \dfrac{1}{{{{25}^{x - 1}}.25}} \Leftrightarrow {3^{{x^2}}} = \dfrac{1}{{{{25}^x}}}$ \(\left( * \right)\)

Lấy logarit cơ số 3 hai vế của \(\left( * \right)\), ta được $ \Leftrightarrow {\log _3}{3^{{x^2}}} = {\log _3}\dfrac{1}{{{{25}^x}}}$

$ \Leftrightarrow {x^2} = x{\log _3}\dfrac{1}{{25}} \Leftrightarrow {x^2} - x{\log _3}\dfrac{1}{{25}} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0 = {x_1}}\\{x = {{\log }_3}\dfrac{1}{{25}} = {x_2}}\end{array}} \right..$

Suy ra $P = \sqrt {{3^{{x_1}}} + {3^{{x_2}}}}  = \sqrt {{3^0} + {3^{{{\log }_3}\dfrac{1}{{25}}}}}  = \dfrac{{\sqrt {26} }}{5}.$

Phương trình \({2^{2x - 1}} + {m^2} - m = 0\) \( \Leftrightarrow {2^{2x - 1}} =  - {m^2} + m\) có nghiệm \( \Leftrightarrow  - {m^2} + m > 0\)

\( \Leftrightarrow m\left( {m - 1} \right) < 0\) \( \Leftrightarrow 0 < m < 1.\)

Ta có \({5^{{{\sin }^2}x}} + {5^{{{\cos }^2}x}} = 2\sqrt 5  \Leftrightarrow {5^{{{\sin }^2}x}} + {5^{1 - {{\sin }^2}x}} = 2\sqrt 5  \Leftrightarrow {5^{{{\sin }^2}x}} + \dfrac{5}{{{5^{{{\sin }^2}x}}}} = 2\sqrt 5 \)

$ \Leftrightarrow {\left( {{5^{{{\sin }^2}x}}} \right)^2} - 2\sqrt 5 {.5^{{{\sin }^2}x}} + 5 = 0 \Leftrightarrow {\left( {{5^{{{\sin }^2}x}} - \sqrt 5 } \right)^2} = 0 \Leftrightarrow {5^{{{\sin }^2}x}} - \sqrt 5  = 0 \Leftrightarrow {5^{{{\sin }^2}x}} = {5^{\dfrac{1}{2}}}$

$ \Leftrightarrow {\sin ^2}x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\\sin x =  - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}$.

Do \(x \in \left[ {0;2\pi } \right]\) \( \Rightarrow x = \left\{ {\dfrac{\pi }{4};\dfrac{{3\pi }}{4};\dfrac{{5\pi }}{4};\dfrac{{7\pi }}{4}} \right\}\) \( \Rightarrow T = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{3\pi }}{4} + \dfrac{{5\pi }}{4} + \dfrac{{7\pi }}{4} = 4\pi \)

Ta xét các trường hợp sau:

TH1. \(x - 3 = 1 \Leftrightarrow x = 4\) thỏa mãn phương trình.

TH2: \(x-3=-1\Leftrightarrow x = 2\) thỏa mãn phương trình.

TH3. \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3 \ne 0\\2{x^2} - 5x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \dfrac{5}{2}\end{array} \right.\).

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm \(x = 0;x=2;{\rm{ }}x = \dfrac{5}{2};{\rm{ }}x = 4\) \( \Rightarrow T = \dfrac{{17}}{2}\)

\({4.2^{2x}} - {4.2^x} + {4.2^{ - 2x}} - {4.2^{ - x}} - 7 = 0\)

\( \Leftrightarrow 4.\left( {{2^{2x}} + {2^{ - 2x}}} \right) - 4.\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right) - 7 = 0\)

Đặt \(t = {2^x} + {2^{ - x}}\), suy ra \({t^2} = {2^{2x}} + {2^{ - 2x}} + 2\).

Ta có \(t = {2^x} + {2^{ - x}}\mathop  \ge \limits^{{\rm{Cauchy}}} 2\sqrt {{2^x}{{.2}^{ - x}}}  = 2\).

Phương trình trở thành \(4\left( {{t^2} - 2} \right) - 4t - 7 = 0\)\( \Leftrightarrow 4{t^2} - 4t - 15 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{5}{2}\left( {TM} \right)\\t =  - \dfrac{3}{2}\left( L \right)\end{array} \right.\)

\(t = \dfrac{5}{2} \Rightarrow {2^x} + {2^{ - x}} = \dfrac{5}{2}\)\( \Leftrightarrow {2^x} + \dfrac{1}{{{2^x}}} = \dfrac{5}{2} \Leftrightarrow {2.2^{2x}} - {5.2^x} + 2 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^x} = 2\\{2^x} = \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 = {x_1}\\x =  - 1 = {x_2}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow S = {x_1} + {x_2} = 0.\)

Phương trình \({2^{x - 1}} - {2^{{x^2} - x}} = {\left( {x - 1} \right)^2} \) \(\Leftrightarrow {2^{x - 1}} + \left( {x - 1} \right) = {2^{{x^2} - x}} + \left( {{x^2} - x} \right)\)  \(\left( * \right)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {2^t} + t\) trên \(\mathbb{R},\) ta có \(f'\left( t \right) = {2^t}\ln 2 + 1 > 0,\forall t \in \mathbb{R}.\)

Suy ra hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

Nhận thấy \(\left( * \right)\) có dạng \(f\left( {x - 1} \right) = f\left( {{x^2} - x} \right)\)\( \Leftrightarrow x - 1 = {x^2} - x\) \( \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1\)

Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất \(x = 1.\)

Phương trình \( \Leftrightarrow {2017^{{{\sin }^2}x}} - {2017^{{{\cos }^2}x}} = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x\)

\( \Leftrightarrow {2017^{{{\sin }^2}x}} + {\sin ^2}x = {2017^{{{\cos }^2}x}} + {\cos ^2}x.\)       \(\left( * \right)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {2017^t} + t\) trên \(\mathbb{R},\) ta có \(f'\left( t \right) = {2017^t}\ln 2017 + 1 > 0,\forall t \in \mathbb{R}.\)

Suy ra hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

Nhận thấy \(\left( * \right)\) có dạng \(f\left( {{{\sin }^2}x} \right) = f\left( {{{\cos }^2}x} \right) \Leftrightarrow {\sin ^2}x = {\cos ^2}x\)

\( \Leftrightarrow {\cos ^2}x - {\sin ^2}x = 0\)\( \Leftrightarrow \cos 2x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{2},{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}\)

Vì \(x \in \left[ {0;\pi } \right] \Rightarrow x = \left\{ {\dfrac{\pi }{4};\dfrac{{3\pi }}{4}} \right\}\) \( \Rightarrow T = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{3\pi }}{4} = \pi \)

Nếu \(x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\) thì \({x^2} - 1 > 0\). Suy ra \({3^{{x^2} - 1}} + \left( {{x^2} - 1} \right){3^{x + 1}} > 1\).

Do đó phương trình đã cho vô nghiệm.

Nếu \(x \in \left( { - 1;1} \right)\) thì \({x^2} - 1 < 0\). Suy ra \({3^{{x^2} - 1}} + \left( {{x^2} - 1} \right){3^{x + 1}} < 1.\)

Do đó phương trình đã cho vô nghiệm.

Kiểm tra \(x =  \pm 1\) thỏa mãn phương trình đã cho.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1} =  - 1\), \({x_2} = 1\).

Suy ra \(x_1^2 + x_2^2 = 1\)

Ta có: \({3^{x + 2}} = 27 \Leftrightarrow {3^{x + 2}} = {3^3}\) \( \Leftrightarrow x + 2 = 3 \Leftrightarrow x = 1\).

Nếu \(x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\) thì \({x^2} - 1 > 0\). Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{2016^{{x^2} - 1}} > 1\\\left( {{x^2} - 1} \right){.2017^x} > 0\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {2016^{{x^2} - 1}} + \left( {{x^2} - 1} \right){.2017^x} > 1\). Do đó phương trình đã cho vô nghiệm.

Nếu \(x \in \left( { - 1;1} \right)\) thì \({x^2} - 1 < 0\). Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{2016^{{x^2} - 1}} < 1\\\left( {{x^2} - 1} \right){.2017^x} < 0\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {2016^{{x^2} - 1}} + \left( {{x^2} - 1} \right){.2017^x} < 1.\) Do đó phương trình đã cho vô nghiệm.

Kiểm tra \(x =  \pm 1\) thỏa mãn phương trình đã cho.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1} =  - 1\), \({x_2} = 1\).

Suy ra phương trình đã cho có tổng các nghiệm bằng \(0\).

Điều kiện: \(x >  - 3.\)

Do ${2^{{{\log }_5}\left( {x + 3} \right)}} > 0$ nên để phương trình có nghiệm thì \(x > 0.\)

Lấy logarit cơ số \(2\) của hai vế phương trình, ta được ${\log _5}\left( {x + 3} \right) = {\log _2}x$.

Đặt $t = {\log _5}\left( {x + 3} \right) = {\log _2}x$$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3 = {5^t}\\x = {2^t}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {5^t} - 3\\x = {2^t}\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow {5^t} - 3 = {2^t} \Leftrightarrow {5^t} = {3.1^t} + {2^t}$

Chia hai vế phương trình cho ${5^t}$, ta được $1 = 3.{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^t} + {\left( {\dfrac{2}{5}} \right)^t}$.

Đây là phương trình hoành độ giao điểm của đường \(y = 1\) (hàm hằng) và đồ thị hàm số $y = 3.{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^t} + {\left( {\dfrac{2}{5}} \right)^t}$ (hàm số này nghịch biến vì nó là tổng của hai hàm số nghịch biến).

Do đó phương trình có nghiệm duy nhất. Nhận thấy \(t = 1\) thỏa mãn phương trình.

Với \(t = 1 \Rightarrow x = {2^t} = 2\left( {TM} \right).\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất.

Ta có: \({27^{3{x^2} + xy - 12x}} = xy + 1\)

ĐK: \(xy + 1 > 0 \Leftrightarrow y >  - \dfrac{1}{x}\) khi \(x \in \left( {\dfrac{1}{3};4} \right)\)\( \Rightarrow y >  - 3\) thì mới tồn tại \(x \in \left( {\dfrac{1}{3};4} \right)\).

Xét \({27^{3{x^2} + xy - 12x}} - xy - 1 = 0\)

Đặt \(f\left( x \right) = g\left( y \right) = {27^{3{x^2} + xy - 12x}} - xy - 1\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( {\dfrac{1}{3}} \right) = {3^{y - 11}} - \dfrac{y}{3} - 1\\f\left( 4 \right) = {27^{4y}} - 4y - 1\end{array} \right.\)

Nhận thấy \(f\left( 4 \right) \ge 0\,\forall \,y \in \mathbb{Z}\). Dấu bằng xảy ra khi \(y = 0\).

Xét \(y = 0\) thay vào phương trình ban đầu \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 4\end{array} \right.\) loại vì \(x \in \left( {\dfrac{1}{3};4} \right)\)

Xét \(y \ne 0 \Rightarrow f\left( 4 \right) > 0\,\forall \,x \in \mathbb{Z}*\)

Ta table khảo sát \(f\left( {\dfrac{1}{3}} \right)\) ta rút ra được \(f\left( {\dfrac{1}{3}} \right) < 0,\,\forall y \in \left\{ { - 2; - 1;1;2;...;9;10;11;12} \right\}\).

Ta có: \(f\left( {\dfrac{1}{3}} \right).f\left( 4 \right) < 0\,\forall \,y \in \left\{ { - 2; - 1;1;2;...;9;10;11;12} \right\}\)

Có \(14\) giá trị của \(y\) để tồn tại nghiệm \(x \in \left( {\dfrac{1}{3};4} \right)\)

Từ bảng Table ta nhận thấy khi \(y \ge 13\) thì phương trình vô nghiệm.

\(g'\left( y \right) = x\left( {{{27}^{3{x^2} + x\left( {y - 12} \right)}}.\ln 27 - 1} \right) > 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\forall y \ge 13\\x \in \left( {\dfrac{1}{3};4} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow g\left( y \right) \ge g\left( {12} \right) = {27^{3{x^2}}} - 12x - 1 = h\left( x \right)\)

Ta có: \(h'\left( x \right) = 6x{.27^{3{x^2}}}.\ln 27 - 12 > 0\,\forall \,x \in \left( {\dfrac{1}{3};4} \right)\)

\( \Rightarrow h\left( x \right) > h\left( {\dfrac{1}{3}} \right) =  - 2 < 0\)

Phương trình vô nghiệm với \(x \in \left( {\dfrac{1}{3};4} \right)\)

Vậy có \(14\) giá trị nguyên của \(y\) thỏa mãn.

${4^{2{\rm{x}} + 5}} = {2^{2 - x}} \Leftrightarrow {2^{4{\rm{x}} + 10}} = {2^{2 - x}} \Leftrightarrow 4{\rm{x}} + 10 = 2 - x \Leftrightarrow 5{\rm{x}} =  - 8 \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 8}}{5}$

\({3^{{x^4} - 3{x^2}}} = 81 = {3^4} \Leftrightarrow {x^4} - 3{x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow x =  \pm 2\)                         

Tổng các nghiệm sẽ bằng $0$.

\(\dfrac{{{3^{2x - 6}}}}{{27}} = {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^x} \Leftrightarrow {3^{2x - 6}} = {3^3}{.3^{ - x}} \Leftrightarrow {3^{2x - 6}} = {3^{3 - x}} \Leftrightarrow 2x - 6 = 3 - x \Leftrightarrow x = 3\)

\({e^{\ln 81}} = 81 = {9^2}\)

Điều kiện: $x \ge 1$.

Suy ra \(\sqrt {x - 1}  = 2 \Leftrightarrow x - 1 = 4 \Rightarrow x = 5\)

\({4^x} = {8^{x - 1}} \Leftrightarrow {2^{2x}} = {2^{3\left( {x - 1} \right)}} \Leftrightarrow 2x = 3\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow x = 3\) 

\({2^{{x^2} + x - 1}} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow {2^{{x^2} + x - 1}} = {2^{ - 1}} \Leftrightarrow {x^2} + x - 1 =  - 1 \Leftrightarrow {x^2} + x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 1\end{array} \right.\)

Ta có ${\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x}{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} = 1 \Rightarrow {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} = \dfrac{1}{{{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^x}}}$.

Đặt $t = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x}{\rm{ }}\left( {t > 0} \right)$, phương trình đã cho trở thành $t + \dfrac{{1 - a}}{t} - 4 = 0 \Leftrightarrow {t^2} - 4t + 1 - a = 0$(*)

Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm dương phân biệt $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  = 3 + a > 0\\{t_1} + {t_2} = 4 > 0\\{t_1}{t_2} = 1 - a > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 3 < a < 1$

Ta có ${x_1} - {x_2} = {\log _{2 + \sqrt 3 }}3 \Leftrightarrow {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{{x_1} - {x_2}}} = 3 \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^{{x_1}}}}}{{{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^{{x_2}}}}} = 3 \Leftrightarrow \dfrac{{{t_1}}}{{{t_2}}} = 3$

Vì ${t_1} + {t_2} = 4$ nên điều này xảy ra khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm $t = 3$ và $t = 1$.

Khi đó $1 – a = 3.1 = 3 ⇔ a = –2$.

Trong 4 đáp án chỉ có B là đúng.