Phương trình mũ và một số phương pháp giải

  •   
Câu 21 Trắc nghiệm

Tìm tập nghiệm S của phương trình 3x1.52x2mxm=15, m là tham số khác 2.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Điều kiện: xm.

Phương trình 3x1.52x2mxm=3.552x2mxm1=31(x1)5x2xm=32x                                         ()

Lấy logarit cơ số 5 hai vế của (), ta được

x2xm=(2x)log53(x2)(1xm+log53)=0.

Với x2=0x=2(TM).

Với 1xm+log53=0xm=1log53 x=mlog35(TM)

Vậy phương trình có tập nghiệm S={2;mlog35}.

Câu 22 Trắc nghiệm

Biết rằng phương trình 3x2+1.25x1=325 có đúng hai nghiệm x1,x2. Tính giá trị của P=3x1+3x2.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Phương trình 3x2+1.25x1=325 3x2+13=125x1.253x2=125x ()

Lấy logarit cơ số 3 hai vế của (), ta được log33x2=log3125x

x2=xlog3125x2xlog3125=0[x=0=x1x=log3125=x2.

Suy ra P=3x1+3x2=30+3log3125=265.

Câu 23 Trắc nghiệm

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình 22x1+m2m=0 có nghiệm.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Phương trình 22x1+m2m=0 22x1=m2+m có nghiệm m2+m>0

m(m1)<0 0<m<1.

Câu 24 Trắc nghiệm

Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 5sin2x+5cos2x=25 trên đoạn [0;2π].

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Ta có 5sin2x+5cos2x=255sin2x+51sin2x=255sin2x+55sin2x=25

(5sin2x)225.5sin2x+5=0(5sin2x5)2=05sin2x5=05sin2x=512

sin2x=12[sinx=22sinx=22x=π4+kπ2,kZ.

Do x[0;2π] x={π4;3π4;5π4;7π4} T=π4+3π4+5π4+7π4=4π

Câu 25 Trắc nghiệm

Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình (x3)2x25x=1.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Ta xét các trường hợp sau:

TH1. x3=1x=4 thỏa mãn phương trình.

TH2: x3=1x=2 thỏa mãn phương trình.

TH3. {x302x25x=0[x=0x=52.

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm x=0;x=2;x=52;x=4 T=172

Câu 26 Trắc nghiệm

Tính S là tổng tất cả các nghiệm của phương trình 4.22x4.2x+4.22x4.2x7=0

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

4.22x4.2x+4.22x4.2x7=0

4.(22x+22x)4.(2x+2x)7=0

Đặt t=2x+2x, suy ra t2=22x+22x+2.

Ta có t=2x+2xCauchy22x.2x=2.

Phương trình trở thành 4(t22)4t7=04t24t15=0 [t=52(TM)t=32(L)

t=522x+2x=522x+12x=522.22x5.2x+2=0 [2x=22x=12[x=1=x1x=1=x2

S=x1+x2=0.

Câu 27 Trắc nghiệm

Phương trình 2x12x2x=(x1)2 có tất cả bao nhiêu nghiệm?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Phương trình 2x12x2x=(x1)2 2x1+(x1)=2x2x+(x2x)  ()

Xét hàm số f(t)=2t+t trên R, ta có f(t)=2tln2+1>0,tR.

Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên R.

Nhận thấy () có dạng f(x1)=f(x2x)x1=x2x (x1)2=0x=1

Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất x=1.

Câu 28 Trắc nghiệm

Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 2017sin2x2017cos2x=cos2x trên đoạn [0;π].

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Phương trình 2017sin2x2017cos2x=cos2xsin2x

2017sin2x+sin2x=2017cos2x+cos2x.       ()

Xét hàm số f(t)=2017t+t trên R, ta có f(t)=2017tln2017+1>0,tR.

Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên R.

Nhận thấy () có dạng f(sin2x)=f(cos2x)sin2x=cos2x

cos2xsin2x=0cos2x=0x=π4+kπ2,kZ

x[0;π]x={π4;3π4} T=π4+3π4=π

Câu 29 Trắc nghiệm

Tổng bình phương các nghiệm của phương trình 3x21+(x21)3x+1=1

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Nếu x(;1)(1;+) thì x21>0. Suy ra 3x21+(x21)3x+1>1.

Do đó phương trình đã cho vô nghiệm.

Nếu x(1;1) thì x21<0. Suy ra 3x21+(x21)3x+1<1.

Do đó phương trình đã cho vô nghiệm.

Kiểm tra x=±1 thỏa mãn phương trình đã cho.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x1=1, x2=1.

Suy ra x21+x22=1

Câu 30 Trắc nghiệm

Đề thi THPT QG 2020 – mã đề 104

Nghiệm của phương trình 3x+2=27

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Ta có: 3x+2=273x+2=33 x+2=3x=1.

Câu 31 Trắc nghiệm

Cho phương trình 2016x21+(x21).2017x=1. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Nếu x(;1)(1;+) thì x21>0. Suy ra {2016x21>1(x21).2017x>0

2016x21+(x21).2017x>1. Do đó phương trình đã cho vô nghiệm.

Nếu x(1;1) thì x21<0. Suy ra {2016x21<1(x21).2017x<0

2016x21+(x21).2017x<1. Do đó phương trình đã cho vô nghiệm.

Kiểm tra x=±1 thỏa mãn phương trình đã cho.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x1=1, x2=1.

Suy ra phương trình đã cho có tổng các nghiệm bằng 0.

Câu 32 Trắc nghiệm

Phương trình 2log5(x+3)=x có tất cả bao nhiêu nghiệm?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Điều kiện: x>3.

Do 2log5(x+3)>0 nên để phương trình có nghiệm thì x > 0.

Lấy logarit cơ số 2 của hai vế phương trình, ta được {\log _5}\left( {x + 3} \right) = {\log _2}x.

Đặt t = {\log _5}\left( {x + 3} \right) = {\log _2}x \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3 = {5^t}\\x = {2^t}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {5^t} - 3\\x = {2^t}\end{array} \right. \Leftrightarrow {5^t} - 3 = {2^t} \Leftrightarrow {5^t} = {3.1^t} + {2^t}

Chia hai vế phương trình cho {5^t}, ta được 1 = 3.{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^t} + {\left( {\dfrac{2}{5}} \right)^t}.

Đây là phương trình hoành độ giao điểm của đường y = 1 (hàm hằng) và đồ thị hàm số y = 3.{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^t} + {\left( {\dfrac{2}{5}} \right)^t} (hàm số này nghịch biến vì nó là tổng của hai hàm số nghịch biến).

Do đó phương trình có nghiệm duy nhất. Nhận thấy t = 1 thỏa mãn phương trình.

Với t = 1 \Rightarrow x = {2^t} = 2\left( {TM} \right).

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất.

Câu 33 Trắc nghiệm

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 102

Có bao nhiêu số nguyên y sao cho tồn tại x \in \left( {\dfrac{1}{3};4} \right) thỏa mãn {27^{3{x^2} + xy}} = \left( {1 + xy} \right){27^{12x}}

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Ta có: {27^{3{x^2} + xy - 12x}} = xy + 1

ĐK: xy + 1 > 0 \Leftrightarrow y >  - \dfrac{1}{x} khi x \in \left( {\dfrac{1}{3};4} \right) \Rightarrow y >  - 3 thì mới tồn tại x \in \left( {\dfrac{1}{3};4} \right).

Xét {27^{3{x^2} + xy - 12x}} - xy - 1 = 0

Đặt f\left( x \right) = g\left( y \right) = {27^{3{x^2} + xy - 12x}} - xy - 1 ta có: \left\{ \begin{array}{l}f\left( {\dfrac{1}{3}} \right) = {3^{y - 11}} - \dfrac{y}{3} - 1\\f\left( 4 \right) = {27^{4y}} - 4y - 1\end{array} \right.

Nhận thấy f\left( 4 \right) \ge 0\,\forall \,y \in \mathbb{Z}. Dấu bằng xảy ra khi y = 0.

Xét y = 0 thay vào phương trình ban đầu \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 4\end{array} \right. loại vì x \in \left( {\dfrac{1}{3};4} \right)

Xét y \ne 0 \Rightarrow f\left( 4 \right) > 0\,\forall \,x \in \mathbb{Z}*

Ta table khảo sát f\left( {\dfrac{1}{3}} \right) ta rút ra được f\left( {\dfrac{1}{3}} \right) < 0,\,\forall y \in \left\{ { - 2; - 1;1;2;...;9;10;11;12} \right\}.

Ta có: f\left( {\dfrac{1}{3}} \right).f\left( 4 \right) < 0\,\forall \,y \in \left\{ { - 2; - 1;1;2;...;9;10;11;12} \right\}

14 giá trị của y để tồn tại nghiệm x \in \left( {\dfrac{1}{3};4} \right)

Từ bảng Table ta nhận thấy khi y \ge 13 thì phương trình vô nghiệm.

g'\left( y \right) = x\left( {{{27}^{3{x^2} + x\left( {y - 12} \right)}}.\ln 27 - 1} \right) > 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\forall y \ge 13\\x \in \left( {\dfrac{1}{3};4} \right)\end{array} \right.

\Rightarrow g\left( y \right) \ge g\left( {12} \right) = {27^{3{x^2}}} - 12x - 1 = h\left( x \right)

Ta có: h'\left( x \right) = 6x{.27^{3{x^2}}}.\ln 27 - 12 > 0\,\forall \,x \in \left( {\dfrac{1}{3};4} \right)

\Rightarrow h\left( x \right) > h\left( {\dfrac{1}{3}} \right) =  - 2 < 0

Phương trình vô nghiệm với x \in \left( {\dfrac{1}{3};4} \right)

Vậy có 14 giá trị nguyên của y thỏa mãn.

Câu 34 Trắc nghiệm

Phương trình {4^{2x + 5}} = {2^{2 - x}}  có nghiệm là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

{4^{2{\rm{x}} + 5}} = {2^{2 - x}} \Leftrightarrow {2^{4{\rm{x}} + 10}} = {2^{2 - x}} \Leftrightarrow 4{\rm{x}} + 10 = 2 - x \Leftrightarrow 5{\rm{x}} =  - 8 \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 8}}{5}

Câu 35 Trắc nghiệm

Tổng các nghiệm của phương trình {3^{{x^4} - 3{x^2}}} = 81

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

{3^{{x^4} - 3{x^2}}} = 81 = {3^4} \Leftrightarrow {x^4} - 3{x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow x =  \pm 2                         

Tổng các nghiệm sẽ bằng 0.

Câu 36 Trắc nghiệm

Tìm nghiệm của phương trình \dfrac{{{3^{2x - 6}}}}{{27}} = {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^x}.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

\dfrac{{{3^{2x - 6}}}}{{27}} = {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^x} \Leftrightarrow {3^{2x - 6}} = {3^3}{.3^{ - x}} \Leftrightarrow {3^{2x - 6}} = {3^{3 - x}} \Leftrightarrow 2x - 6 = 3 - x \Leftrightarrow x = 3

Câu 37 Trắc nghiệm

Tìm nghiệm của phương trình {9^{\sqrt {x - 1} }} = {e^{\ln 81}}

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

{e^{\ln 81}} = 81 = {9^2}

Điều kiện: x \ge 1.

Suy ra \sqrt {x - 1}  = 2 \Leftrightarrow x - 1 = 4 \Rightarrow x = 5

Câu 38 Trắc nghiệm

Giải phương trình {4^x} = {8^{x - 1}}

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

{4^x} = {8^{x - 1}} \Leftrightarrow {2^{2x}} = {2^{3\left( {x - 1} \right)}} \Leftrightarrow 2x = 3\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow x = 3 

Câu 39 Trắc nghiệm

Tìm tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình {2^{{x^2} + x - 1}} = \dfrac{1}{2}.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

{2^{{x^2} + x - 1}} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow {2^{{x^2} + x - 1}} = {2^{ - 1}} \Leftrightarrow {x^2} + x - 1 =  - 1 \Leftrightarrow {x^2} + x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 1\end{array} \right.

Câu 40 Trắc nghiệm

Tìm giá trị của a để phương trình {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} + \left( {1 - a} \right){\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} - 4 = 0 có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn:{x_1} - {x_2} = {\log _{2 + \sqrt 3 }}3, ta có a thuộc khoảng:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Ta có {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x}{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} = 1 \Rightarrow {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} = \dfrac{1}{{{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^x}}}.

Đặt t = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x}{\rm{ }}\left( {t > 0} \right), phương trình đã cho trở thành t + \dfrac{{1 - a}}{t} - 4 = 0 \Leftrightarrow {t^2} - 4t + 1 - a = 0(*)

Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm dương phân biệt \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  = 3 + a > 0\\{t_1} + {t_2} = 4 > 0\\{t_1}{t_2} = 1 - a > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 3 < a < 1

Ta có {x_1} - {x_2} = {\log _{2 + \sqrt 3 }}3 \Leftrightarrow {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{{x_1} - {x_2}}} = 3 \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^{{x_1}}}}}{{{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^{{x_2}}}}} = 3 \Leftrightarrow \dfrac{{{t_1}}}{{{t_2}}} = 3

{t_1} + {t_2} = 4 nên điều này xảy ra khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm t = 3t = 1.

Khi đó 1 – a = 3.1 = 3 ⇔ a = –2.

Trong 4 đáp án chỉ có B là đúng.