Tính tổng \(T\) tất cả các nghiệm của phương trình \({2017^{{{\sin }^2}x}} - {2017^{{{\cos }^2}x}} = \cos 2x\) trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right].\)

Phương trình \( \Leftrightarrow {2017^{{{\sin }^2}x}} - {2017^{{{\cos }^2}x}} = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x\)

\( \Leftrightarrow {2017^{{{\sin }^2}x}} + {\sin ^2}x = {2017^{{{\cos }^2}x}} + {\cos ^2}x.\)       \(\left( * \right)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {2017^t} + t\) trên \(\mathbb{R},\) ta có \(f'\left( t \right) = {2017^t}\ln 2017 + 1 > 0,\forall t \in \mathbb{R}.\)

Suy ra hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

Nhận thấy \(\left( * \right)\) có dạng \(f\left( {{{\sin }^2}x} \right) = f\left( {{{\cos }^2}x} \right) \Leftrightarrow {\sin ^2}x = {\cos ^2}x\)

\( \Leftrightarrow {\cos ^2}x - {\sin ^2}x = 0\)\( \Leftrightarrow \cos 2x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{2},{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}\)

Vì \(x \in \left[ {0;\pi } \right] \Rightarrow x = \left\{ {\dfrac{\pi }{4};\dfrac{{3\pi }}{4}} \right\}\) \( \Rightarrow T = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{3\pi }}{4} = \pi \)