Câu hỏi:
2 năm trước
Nếu \(a > 0,b > 0\) thỏa mãn \({\log _4}a = {\log _6}b = {\log _9}\left( {a + b} \right)\) thì \(\dfrac{a}{b}\) bằng:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Ta có: \({\log _4}a = {\log _6}b = {\log _9}(a + b) = t\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a = {4^t}\\b = {6^t}\\a + b = {9^t}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow {4^t} + {6^t} = {9^t}\)\( \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{2t}} + {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^t} - 1 = 0\)
Đặt \({\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^t} = u > 0 \Rightarrow {u^2} + u - 1 = 0\) \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}u = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\left( {tm} \right)\\u = \dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)
Nên \({\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^t} = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\)
Mà \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{{{4^t}}}{{{6^t}}} = {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^t}\) nên \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\)
Hướng dẫn giải:
Đặt \({\log _4}a = {\log _6}b = {\log _9}(a + b) = t\) sau đó biểu diễn \(a,b\) theo \(t\)
Lập phương trình mũ ẩn t. Đặt ẩn phụ và đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai.
Từ đó tính được \(\dfrac{a}{b}\) .
