Phương trình mũ và một số phương pháp giải

$\begin{array}{l}{4.9^x} - {13.6^x} + {9.4^x} = 0 \Leftrightarrow 4 - 13.{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^x} + 9.{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{2x}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^x} = 1\\{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^x} = \dfrac{4}{9}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right. \Rightarrow T = 0 + 2 = 2\end{array}$

Thử lần lượt từng đáp án ta thấy $x = 3$ là nghiệm của phương trình

Đặt

$\begin{array}{l}t = {3^x},t > 0 \Rightarrow \sqrt {t + 6}  = t \to t + 6 = {t^2} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - 2(l)\\t = 3\end{array} \right.\\t = 3 \Rightarrow {3^x} = 3 \Rightarrow x = 1\end{array}$

Đặt $t = {\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^x}\left( {t > 0} \right)$ phương trình có dạng $t + \dfrac{1}{t} = 2\sqrt 2  \Leftrightarrow {t^2} - 2\sqrt 2 t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \sqrt 2  + 1} (tm)\\{t = \sqrt 2  - 1} (tm) \end{array}} \right.$

Khi đó

$\begin{array}{l}t = \sqrt 2  + 1 \Rightarrow x =  - 1\\t = \sqrt 2  - 1 \Rightarrow x = 1\end{array}$

Suy ra tích các nghiệm bằng $-1$.

Đặt $t = {2^x};x \in \left( {1;3} \right) \Rightarrow t = {2^x} \in \left( {2;8} \right)$

Xét hàm số $y = {t^2} - 8t + 3$ trên $(2;8)$ có:

$y' = 2t - 8;$ $y' = 0 \Leftrightarrow 2t - 8 = 0 \Leftrightarrow t = 4\in (2;8)$

Bảng biến thiên:

Căn cứ bảng biến thiên:

Phương trình ${4^x} - {\text{ }}{2^{x{\text{ }} + {\text{ }}3}} + {\text{ }}3{\text{ }} = {\text{ }}m$ có đúng 2 nghiệm $x \in \left( {1;3} \right) \Leftrightarrow  - 13 < m <  - 9$

Đặt $t = {2^{{x^2} - 2x + 1}} \ge 1$, phương trình đã cho trở thành ${t^2} - 2mt + 3m - 2 = 0{\rm{ }}\left( * \right)$

Với $t = 1$ ta tìm được 1 giá trị của $x$

Với $t > 1$ ta tìm được 2 giá trị của $x$

Do đó, phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt

⇔ Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn $1$

$\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {m^2} - \left( {3m - 2} \right) > 0\\\left( {{t_1} - 1} \right) + \left( {{t_2} - 1} \right) > 0\\\left( {{t_1} - 1} \right)\left( {{t_2} - 1} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 3m + 2 > 0\\{t_1} + {t_2} > 2\\{t_1}{t_2} - \left( {{t_1} + {t_2}} \right) + 1 > 0\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 3m + 2 > 0\\2m > 2\\3m - 2 - 2m + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < 1\end{array} \right.\\m > 1\end{array} \right.$

⇔ $m > 2$

- Từ các đáp án đã cho, ta thấy giá trị $m=2$ không thuộc đáp án C nên ta thử $m=2$ có thỏa mãn bài toán hay không sẽ loại được đáp án. 

Thử với $m=2$ ta được phương trình : ${12^x} + {2.3^x} - 2 = 0;$ $f( - 1) = \dfrac{{ - 5}}{4};$ $f(0) = 1$ $\Rightarrow f(0).f( - 1) < 0$

Do đó, phương trình có nghiệm trong khoảng $(-1;0)$, mà đáp án C không chứa $m=2$ nên loại C.

- Lại có giá trị $m=3$ thuộc đáp án C nhưng không thuộc hai đáp án A và D nên nếu kiểm tra $m=3$ ta có thể loại tiếp được đáp án.

Thử với $m=3$ ta được phương trình : ${12^x} + {3^x} - 3 = 0;$ $f( - 1) = \dfrac{{ - 31}}{{12}};$ $f(0) =  - 1$ $\Rightarrow f(0).f( - 1) > 0$

Mà hàm số này đồng biến khi $m=3$ nên $f(x)<0,\forall x\in (-1;0)$, suy ra phương trình $f(x)=0$ sẽ không có nghiệm trong $(-1;0)$, loại B.

- Cuối cùng, ta thấy giá trị $m=1$ thuộc đáp án A và không thuộc đáp án D nên ta sẽ thử $m=1$ để loại đáp án.

Thử với $m=1$ ta được phương trình : ${12^x} + {3.3^x} - 1 = 0;$ $f( - 1) = \dfrac{{ - 11}}{{12}};\,f(0) = 3$ $\Rightarrow f(0).f( - 1) < 0$

Do đó phương trình $f(x)=0$ sẽ có nghiệm trong $(-1;0)$ nên loại D và chọn A.

Phương trình tương đương với: ${3^{2x}} - 9m{.3^x} + 9m = 0$ (*)

Đặt ${3^x} = a$  với $a > 0$ phương trình thành: ${a^2} - 9m.a + 9m = 0$

Giả sử phương trình có 2 nghiệm ${x_1}$  và ${x_2}$  thì ${3^{{x_1}}};{3^{{x_2}}}$ lần lượt là nghiệm của (*)

Suy ra: ${3^{{x_1}}}{.3^{{x_2}}} = 9m \Leftrightarrow {3^{{x_1} + {x_2}}} = 9m \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = {\log _3}9m = 3 \Rightarrow 9m = 27 \Leftrightarrow m = 3$

Thử với $m = -1$ ta được phương trình:

${\left( {{3^{1 - x}}} \right)^2} - {4.3^{1 - x}} + 1 = 0$ phải có 2 nghiệm $3^{1-x}$  đều dương và 2 nghiệm đó là $2 - \sqrt 3$ và $2 + \sqrt 3$.

Vậy $m = - 1$ thỏa mãn nên ta loại được A; B; D

$2 = {5^{{{\log }_3}x}} \Leftrightarrow {\log _5}2 = {\log _3}x \Leftrightarrow \dfrac{{{{\log }_5}x}}{{{{\log }_5}3}} = {\log _5}2$

$\Leftrightarrow \dfrac{{{{\log }_5}x}}{{{{\log }_5}2}} = {\log _5}3 \Leftrightarrow {\log _5}3 = {\log _2}x \Leftrightarrow {\log _3}5 = {\log _x}2$

Suy ra $2 = {x^{{{\log }_3}5}}$

Phương trình trên tương đương với

${3^{2x - 2}} = {2^{x - \frac{3}{2}}}$ $\Leftrightarrow {9^{x - 1}} = {2^{x - 1}}{.2^{\frac{{ - 1}}{2}}}$ $\Leftrightarrow {(\dfrac{9}{2})^{x - 1}} = {2^{\frac{{ - 1}}{2}}}$

$\Leftrightarrow x - 1 = {\log _{\frac{9}{2}}}{2^{\frac{{ - 1}}{2}}}$ $\Leftrightarrow x = 1 - \dfrac{1}{2}{\log _{\frac{9}{2}}}2$

Suy ra $x + \dfrac{1}{2}{\log _{\frac{9}{2}}}2 = 1$

Lấy $\ln$ hai vế ta được:

$\begin{array}{l}({x^2} - 1)\ln 2 = (x + 1)\ln 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\(x - 1)\ln 2 = \ln 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x - 1 = \dfrac{{\ln 3}}{{\ln 2}} = {\log _2}3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 1 + {\log _2}3\end{array} \right.\end{array}$

Nếu $a =  - 1;b = 1 + lo{g_2}3 \Rightarrow a + b + ab = \; - 1$.

${2^{x + 1}} = m{.2^{x + 2}} - {2^{x + 3}}{\rm{ }} \Leftrightarrow {2^{x + 1}} = m{.2^{x + 1 + 1}} - {2^{x + 1 + 2}}$

$\Leftrightarrow {2^{x + 1}} = m{.2.2^{x + 1}} - {2^2}{.2^{x + 1}} \Leftrightarrow {2^{x + 1}} = (2m - 4){2^{x + 1}}$

$\Leftrightarrow 2m - 4 = 1 \Leftrightarrow m = \dfrac{5}{2}$

$\begin{array}{l}{4^{{x^2}}} - {5.2^{{x^2}}} + 4 = 0 \Leftrightarrow {\left( {{2^{{x^2}}}} \right)^2} - {5.2^{{x^2}}} + 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {{2^{{x^2}}} - 4} \right)\left( {{2^{{x^2}}} - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^{{x^2}}} = 4\\{2^{{x^2}}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 2\\{x^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  \pm \sqrt 2 \\x = 0\end{array} \right.\end{array}$

Ý A: Điều kiện $x > 0$. Có ${x^{\frac{2}{3}}} + 5 > 0,\forall x > 0$ nên phương trình vô nghiệm

Ý B: Điều kiện $x > 4$. Có ${\left( {3x} \right)^{\frac{1}{3}}} + {\left( {x - 4} \right)^{\frac{2}{3}}} > 0,\forall x > 4$ nên phương trình vô nghiệm

Ý C: Điều kiện $x \ge 2$. Có $\sqrt {4x - 8}  + 2 > 0,\forall x \ge 2$ nên phương trình vô nghiệm

Ý D: Điều kiện $x > 0$. Có $2{x^{\frac{1}{2}}} - 3 = 0 \Leftrightarrow {x^{\frac{1}{2}}} = \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow x = {\log _{\frac{1}{2}}}\dfrac{3}{2}$ (thỏa mãn)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có ${a^\alpha } + {a^{ - \alpha }}\; \geqslant 2$ . 

Dấu "=" xảy ra khi ${a^\alpha } = {a^{ - \alpha }}$. Điều này dẫn đến $\alpha  =  - \alpha  \Rightarrow \alpha  = 0$

$\begin{array}{l}{4^x} + {4^{ - x}} = 7\\{4^x} + {4^{ - x}} + 2 = 9\\ \Leftrightarrow {\left( {{2^x}} \right)^2} + {\left( {{2^{ - x}}} \right)^2} + {2.2^x}{.2^{ - x}} = 9\\ \Leftrightarrow {\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)^2} = 9\\ \Leftrightarrow {2^x} + {2^{ - x}} = 3\end{array}$

(do ${2^x} + {2^{ - x}} > 0$)

Vậy

$\begin{array}{l}P = \dfrac{{5 - {2^x} - {2^{ - x}}}}{{8 + {{4.2}^x} + {{4.2}^{ - x}}}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{5 - \left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)}}{{8 + 4\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{5 - 3}}{{8 + 4.3}} = \dfrac{1}{{10}}\\ \Rightarrow a = 1,b = 10 \Rightarrow a.b = 1.10 = 10\end{array}$

Ta có ${16^x} - {2.12^x} + \left( {m - 2} \right){.9^x} = 0$(1)

$\Leftrightarrow {\left( {\frac{4}{3}} \right)^{2x}} - 2.{\left( {\frac{4}{3}} \right)^x} + m - 2 = 0$; chia cả hai vế cho ${9^x}$.

Đặt ${\left( {\frac{4}{3}} \right)^x} = t \Rightarrow x = {\log _{\frac{4}{3}}}t > 0 \Leftrightarrow t > 1$

Khi đó ta có phương trình ${t^2} - 2t + m - 2 = 0$(*)

Để phương trình (1) có nghiệm dương thì phương trình (*) có nghiệm lớn hơn 1.

(*) có nghiệm $\Leftrightarrow \Delta ' = 1 - m + 2 \ge 0 \Leftrightarrow 3 - m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 3$

Với $m \le 3$ thì $\left( * \right)$ có nghiệm ${t_1} = 1 - \sqrt {3 - m} ,{t_2} = 1 + \sqrt {3 - m}$

Để (*) có nghiệm lớn hơn 1 thì

$1 + \sqrt {3 - m}  > 1 \Leftrightarrow \sqrt {3 - m}  > 0$ $\Leftrightarrow 3 - m > 0 \Leftrightarrow m < 3$

Mà $m$ nguyên dương nên $m \in \left\{ {1;2} \right\}$.

Vậy có 2 giá trị của $m$ thỏa mãn.

Ta có: ${e^{2{f^3}\left( x \right) - \dfrac{{13}}{2}{f^2}\left( x \right) + 7f\left( x \right) + \dfrac{3}{2}}} = m \Leftrightarrow 2{f^3}\left( x \right) - \dfrac{{13}}{2}{f^2}\left( x \right) + 7f\left( x \right) + \dfrac{3}{2} = \ln m$

Xét $g\left( x \right) = 2{f^3}\left( x \right) - \dfrac{{13}}{2}{f^2}\left( x \right) + 7f\left( x \right) + \dfrac{3}{2}$ có:

$g'\left( x \right) = 6{f^2}\left( x \right)f'\left( x \right) - 13f\left( x \right)f'\left( x \right) + 7f'\left( x \right) = f'\left( x \right)\left[ {6{f^2}\left( x \right) - 13f\left( x \right) + 7} \right]$

Suy ra $g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f'\left( x \right) = 0\\6{f^2}\left( x \right) - 13f\left( x \right) + 7 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f'\left( x \right) = 0\\f\left( x \right) = 1\\f\left( x \right) = \dfrac{7}{6}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1;x = 3\\x = 1,x = {x_1} > 3\\x = {x_2} < 1\end{array} \right.$

Xét $g\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ {0;2} \right]$.

+ Trong khoảng $\left( {0;1} \right)$ thì $f'\left( x \right) < 0,f\left( x \right) > 1,f\left( x \right) < f(0)=\dfrac{7}{6}$ nên $f'\left( x \right)\left( {f\left( x \right) - 1} \right)\left( {f\left( x \right) - \dfrac{7}{6}} \right) > 0$ hay $g'\left( x \right) > 0$.

+ Trong khoảng $\left( {1;2} \right)$ thì $f'\left( x \right) > 0,f\left( x \right) > 1,f\left( x \right) <\dfrac{15}{13}< \dfrac{7}{6}$ nên $f'\left( x \right)\left( {f\left( x \right) - 1} \right)\left( {f\left( x \right) - \dfrac{7}{6}} \right) < 0$ hay $g'\left( x \right) < 0$.

Từ đó ta có bảng biến thiên của $g\left( x \right)$ như sau:

Từ bảng biến thiên ta thấy $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} g\left( x \right) = 4$.

Vậy yêu cầu bài toán thỏa nếu và chỉ nếu $\ln m \le 4 \Leftrightarrow m \le {e^4}$ hay giá trị lớn nhất của $m$ là $m = {e^4}$.

${2^{23{x^3}}}{.2^x} - {1024^{{x^2}}} + 23{x^3} = 10{x^2} - x \Leftrightarrow {2^{23{x^3} + x}} + 23{x^3} + x = {2^{10{x^2}}} + 10{x^2}$

Xét hàm số $f(t) = {2^t} + t;f'(t) = {2^t}\ln 2 + 1 > 0,\forall t$

$\Rightarrow f(23{x^3} + x) = f(10{x^2}) \Leftrightarrow 23{x^3} + x = 10{x^2} \Leftrightarrow x(23{x^2} - 10x + 1) = 0$

Theo vi-et cho phương trình bậc 3 ta có ${x_1} + {x_2} + {x_3} =  - \dfrac{b}{a} = \dfrac{{10}}{{23}} \approx 0,45$