Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để phương trình \({16^x} - {2.12^x} + \left( {m - 2} \right){.9^x} = 0\) có nghiệm dương?

Ta có \({16^x} - {2.12^x} + \left( {m - 2} \right){.9^x} = 0\)(1)

\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{4}{3}} \right)^{2x}} - 2.{\left( {\frac{4}{3}} \right)^x} + m - 2 = 0\); chia cả hai vế cho \({9^x}\).

Đặt \({\left( {\frac{4}{3}} \right)^x} = t \Rightarrow x = {\log _{\frac{4}{3}}}t > 0 \Leftrightarrow t > 1\)

Khi đó ta có phương trình \({t^2} - 2t + m - 2 = 0\)(*)

Để phương trình (1) có nghiệm dương thì phương trình (*) có nghiệm lớn hơn 1.

(*) có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta ' = 1 - m + 2 \ge 0 \Leftrightarrow 3 - m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 3\)

Với \(m \le 3\) thì \(\left( * \right)\) có nghiệm \({t_1} = 1 - \sqrt {3 - m} ,{t_2} = 1 + \sqrt {3 - m} \)

Để (*) có nghiệm lớn hơn 1 thì

\(1 + \sqrt {3 - m}  > 1 \Leftrightarrow \sqrt {3 - m}  > 0\) \( \Leftrightarrow 3 - m > 0 \Leftrightarrow m < 3\)

Mà \(m\) nguyên dương nên \(m \in \left\{ {1;2} \right\}\).

Vậy có 2 giá trị của \(m\) thỏa mãn.