Phương trình ${2^{{{\log }_5}\left( {x + 3} \right)}} = x$ có tất cả bao nhiêu nghiệm?

Điều kiện: $x >  - 3.$

Do ${2^{{{\log }_5}\left( {x + 3} \right)}} > 0$ nên để phương trình có nghiệm thì $x > 0.$

Lấy logarit cơ số $2$ của hai vế phương trình, ta được ${\log _5}\left( {x + 3} \right) = {\log _2}x$.

Đặt $t = {\log _5}\left( {x + 3} \right) = {\log _2}x$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3 = {5^t}\\x = {2^t}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {5^t} - 3\\x = {2^t}\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow {5^t} - 3 = {2^t} \Leftrightarrow {5^t} = {3.1^t} + {2^t}$

Chia hai vế phương trình cho ${5^t}$, ta được $1 = 3.{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^t} + {\left( {\dfrac{2}{5}} \right)^t}$.

Đây là phương trình hoành độ giao điểm của đường $y = 1$ (hàm hằng) và đồ thị hàm số $y = 3.{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^t} + {\left( {\dfrac{2}{5}} \right)^t}$ (hàm số này nghịch biến vì nó là tổng của hai hàm số nghịch biến).

Do đó phương trình có nghiệm duy nhất. Nhận thấy $t = 1$ thỏa mãn phương trình.

Với $t = 1 \Rightarrow x = {2^t} = 2\left( {TM} \right).$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất.