Tính tổng \(T\) tất cả các nghiệm của phương trình \({5^{{{\sin }^2}x}} + {5^{{{\cos }^2}x}} = 2\sqrt 5 \) trên đoạn \(\left[ {0;2\pi } \right].\)

Ta có \({5^{{{\sin }^2}x}} + {5^{{{\cos }^2}x}} = 2\sqrt 5  \Leftrightarrow {5^{{{\sin }^2}x}} + {5^{1 - {{\sin }^2}x}} = 2\sqrt 5  \Leftrightarrow {5^{{{\sin }^2}x}} + \dfrac{5}{{{5^{{{\sin }^2}x}}}} = 2\sqrt 5 \)

$ \Leftrightarrow {\left( {{5^{{{\sin }^2}x}}} \right)^2} - 2\sqrt 5 {.5^{{{\sin }^2}x}} + 5 = 0 \Leftrightarrow {\left( {{5^{{{\sin }^2}x}} - \sqrt 5 } \right)^2} = 0 \Leftrightarrow {5^{{{\sin }^2}x}} - \sqrt 5  = 0 \Leftrightarrow {5^{{{\sin }^2}x}} = {5^{\dfrac{1}{2}}}$

$ \Leftrightarrow {\sin ^2}x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\\sin x =  - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}$.

Do \(x \in \left[ {0;2\pi } \right]\) \( \Rightarrow x = \left\{ {\dfrac{\pi }{4};\dfrac{{3\pi }}{4};\dfrac{{5\pi }}{4};\dfrac{{7\pi }}{4}} \right\}\) \( \Rightarrow T = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{3\pi }}{4} + \dfrac{{5\pi }}{4} + \dfrac{{7\pi }}{4} = 4\pi \)