Câu hỏi:
2 năm trước
Phương trình \({2^{x - 1}} - {2^{{x^2} - x}} = {\left( {x - 1} \right)^2}\) có tất cả bao nhiêu nghiệm?
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Phương trình \({2^{x - 1}} - {2^{{x^2} - x}} = {\left( {x - 1} \right)^2} \) \(\Leftrightarrow {2^{x - 1}} + \left( {x - 1} \right) = {2^{{x^2} - x}} + \left( {{x^2} - x} \right)\) \(\left( * \right)\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {2^t} + t\) trên \(\mathbb{R},\) ta có \(f'\left( t \right) = {2^t}\ln 2 + 1 > 0,\forall t \in \mathbb{R}.\)
Suy ra hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
Nhận thấy \(\left( * \right)\) có dạng \(f\left( {x - 1} \right) = f\left( {{x^2} - x} \right)\)\( \Leftrightarrow x - 1 = {x^2} - x\) \( \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1\)
Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất \(x = 1.\)
Hướng dẫn giải:
- Sử dụng phương pháp hàm đặc trưng, biến đổi phương trình về dạng \(f\left( u \right) = f\left( v \right)\).
- Xét hàm \(y = f\left( t \right)\) suy ra số nghiệm của phương trình.
- Nhẩm nghiệm và kết luận.
